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微专题《载体法处理几何体的外接球》

（一）高考地位

有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点；也是高考考查的一个热点；是培养直观想象

的核心素养的重要载体。研究多面体外接球相关问题既要运用多面体的知识，又要运用球的知识；并

且还要注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的联系，解法灵法多变；成为学生无法解决的难

题。今天我们以专题形式帮助同学掌握两种方法来突破外接球问题。

（二）知识储备

1.外接球的定义及常见几何体的外接球

（1）什么是外接球？

外接球全称叫几何体的外接球，是指几何体在球内顶住球，球在几何体外面包住几何体；

进一步地：若几何体是多面体，则该多面体至多一个外接球，此时多面体的顶点都在球面上，球心

到各顶点的距离都相等

进一步地：若几何体是旋转体，则该旋转体恰有一个外接球，此时旋转体的圆周和顶点都在球面

上，球心到顶点与圆周上的每一点的距离都相等

（2）外接球与内切球、棱切球的区别

2.外接球的确定及度量

（1）性质法利用球的性质先确定球心再用垂径定理计算半径

理论依据：类比圆，球体也具备如下性质

①用一个平面截球面得到的截面是一个圆，我们称作是截面圆

②用一个过球心的平面截球面得到的截面圆是一个大圆，此时球心与大圆的圆心是重合

③用一个不过球心的平面截球面得到的截面圆是一个小圆，此时小圆圆心与球心的连线垂直于

小圆所在的平面

④过截面圆圆心作截面圆的垂线必过球心

⑤球面上任意三个点所在的外接圆就是球的截面圆

实战演练：根据球的性质可知，我们可以通过一个大圆或者两个小圆来确定球心，通过垂径定理

来计算半径。所以球的问题，我们可以转成圆（外心）的问题。

①通过一个大圆来确定球心

+b+c

正方体的外接球：球心位置：大圆的圆心即体中心半径R满足：2R=a222

h

=()+r

圆柱的外接球：球心位置：大圆的圆心也是中间轴的中点半径R满足：R2222

=(h-R)+r

圆锥的外接球：球心位置--大圆的圆心半径R满足：R222

·2·

②通过两个小圆来确定球心

小结：性质法就是利用球心正好是球的大圆圆心或者是两个小圆的垂线的交点来确定的。此方

法体现了空间问题转化平面问题来，基本上可以解决所有外接球问题。但由于过程繁琐、计算量较大

且我们更多的是关注半径的大小，因此我们在性质法的基础上延伸出了更高效的一种方法

（2）构造法也称载体法或者补形法，很多几何体的外接球实际上是同一个，故我们可以将一般

几何体的外接球问题转化到特殊几何体的外接球问题来处理

理论依据：①与正方体有相同的外接球：

小结：正（长）方体的八个顶点至少选取4个所得到几何体的外接球与原正（长）方体的外接球一

致。由于正（长）方体的最大特点是同一点相关的三条棱两两垂直，故当我们碰到有两两垂直的三条

棱的几何体时经常转化为正方体的外接球问题

【即时练习】

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC,且两两垂直，△ABC是边

长为2的正三角形，则球O的体积为__________

理论依据：②与圆柱有相同的外接球：

小结：圆柱的上下两个圆周都在外接球的球面上，故两个圆周上至少取四个点得到的几何体的外

接球与原圆柱的外接球是一致的。由于圆柱的最大特点是母线总是于底面垂直，故当我们碰到棱垂