弹性体振动课件.pptxVIP

工程振动测试和实验;5.1弦的振动;弹性体具有分布的物理参数（质量、阻尼、刚度），弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无限多个自由度。;设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T跨长为l，弦单位长度的质量为ρ，两支点连线方向取为x轴，与x轴垂直的方向取为y轴，如图5-1a，;设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y=y(x,t)。并假设弦的振动幅度是微小的，即y与均为小量；在这些假设下，弦的张力T可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。;;;取。于是，上述方程可改写为;其中C、D为积分常数，另外，由边界条件（5-2），得;与各个特征值相对应，可确定系统的各阶自然频率;设在初始时刻有;（5-18）;例5-1设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-2所示的位置，然后无初速度地释放。求弦的自由振动。;因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）：;;5.2杆的纵向振动;设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。再设任一x截面处，纵向应变为ε(x)，纵向张力表示为P(x)；则由材料力学知;整理得;这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为;?两端自由的杆;?一端固定一端自由的杆;?一端固定一端弹性支承的杆（图5-4）;对应于给定的a值，不难找到各个固有频率ωi的数字解。而与各个ωi相应的振型函数为;;取圆轴的轴心线作为x轴，图5-5轴任一x截面处的转角表示为θ(x,t)。设轴长为l，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯量矩为Ip，材料的剪切弹性模量为G。轴的扭转应变为，作用于微元dx两截面上的扭矩分别为，及。;其中。这与前面得到的波动方程形式完全一样，故解的形式也一样。

;例5-2设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如图5-6。圆盘的转动惯量为I。试考察这一系统的扭振固有频率与振型函数。;轴在l端截面处的扭矩应为;这就是轴在l端的边界条件。;如近似地取，则（c）式化简为;这时有;?

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;;假设梁具有对称平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。;方程（5-20）就是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程。;（5-21）;该处挠度与转角都为零，即有;?自由端;采用分离变量法。假设方程（5-22）的解可表示为;故可以把这一常数记为－ω2。;其特征值为;?铰支端;在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率与振型函数之前，先将边界条件中要用到的X(x)的各阶导导数列出如下：;;;由此得特征值为;简支梁的自由振动则可表示为各个主振动的叠加，即;但在x=ξ处有一微段δ于受撞击而获得初速度，即有;设撞击发生在梁的中点处，即处，则有;;固支梁的边界条件为;若上式对有非零解，它的系数行列式必须为零。即;其中，对应于的各个特征根可足够准确地取为;（5-51）;;取悬臂梁的固定端作为坐标系xOy的原点。悬臂梁的边界条件可表示为;它的最低几个特征根可借数字解求得为;（5-58）;物理参数;边界条件;边界条件;例5-4设在悬臂梁的自由端加上横向弹性支承，其弹簧刚度系数为k，如图5-10。试导出系统的频率方程。;由此可得;解：和上例一样，取固支端作为坐标系原点。假设附加质量可看作质点，那么在梁的x=l截面处弯矩为零，而剪力就是质量m的惯性力。这一惯性力可表示为;即有;;下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。和前几节不同，本节所考察的梁截面可以是变化的。这时，梁单位长度的质量ρ(x)以及截面刚度EI(x)都是x的已知函数，而不必为常数。故梁的自由弯曲振动微分方程为;采用分离变量法，将表示为;?铰支端：;对（5-67）式乘以Xj(x)dx，然后在x上对0