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泛函分析第章连续线性算子与连续线性泛函

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第3章连续线性算子与连续线性泛函

本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界

线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定

理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背

景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1连续线性算子与有界线性算子

在线性代数中，我们曾遇到过把一个n维向量空间En映射到另一个m维向

量空间

Em的运算，就是借助于m行n列的矩阵

aaa

11121n

Aaaa



21222n



aaa

m1m2mn

对

En中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另

一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算

抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属

性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍

有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间Y中的映射



T称为算子，D称为算子T的定义域，记为DT，为称像集yyTx,xDT



为算子的值域，记作TD或TD。

若算子T满足：



（1）TxyTxTyx,yDT



（2）T(x)TxF,xDT



称T为线性算子。对线性算子，我们自然要求TD是X的子空间。特别地，如

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果T是由X到实数（复数）域F的映射时，那么称算子T为泛函。

例3.1设X是赋范线性空间，是一给定的数，映射T:xx是X上的线

性算子，称为相似算子；当1时，称T为单位算子或者恒等算子，记作I。



例3.2x