专题14 整式乘法与因式分解八大题型拔尖篇（解析版）-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）.docx

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专题14整式乘法与因式分解八大题型拔尖篇（解析版）

【人教版】

【题型1巧用幂的运算逆向运算】

【题型2整式乘法中不含某项问题】

【题型3多项式乘法中的规律性问题】

【题型4巧用乘法公式求值】

【题型5乘法公式的几何背景】

【题型6利用因式分解探究三角形形状】

【题型7利用拆项或添项进行因式分解】

【题型8因式分解的应用】

【题型1巧用幂的运算逆向运算】

【例1】（2024春?清远期中）运用所学的“幂的运算性质”am?an＝am+n，am÷an＝am﹣n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn．

（1）已知a＝355，b＝444，c＝533，比较a、b、c的大小

（2）已知2a＝3，2b＝6，2c＝12找出a、b、c之间的等量关系；

（3）试比较1714与3111的大小．

【分析】（1）从指数相同的幂，底数大的值大，很容易求得．

（2）从得数3，6，12中得到联系，2的b次方＝2的a次方×2＝2的（a+1）次方，即得．

（3）找到中间量，再找指数相同的幂，进行比较．

【解答】解：（1）∵a＝355＝（35）11＝24311，b＝444＝（44）11＝25611，c＝533＝（53）11＝12511，

∴b＞a＞c；

（2）2的b次方＝2的a次方×2＝2的（a+1）次方，

即b＝a+1，

2的c次方＝2的a次方×4＝2的（a+2）次方，

即c＝a+2，

a+c＝a+a+2＝2a+2，

2b＝2a+2＝a+c

即a+c＝2b，比较后，相等；

（3）∵1714＞1614，

∴1714＞256＞255，

∵255＝3211，3211＞3111，

∴1714＞3111．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，（1）幂的指数相同，底数大小之间的比较；（2）在得数中得到联系，最终得到a，b，c之间的关系；（3）找到中间量，都同中间量进行比较．

【变式1-1】（2024春?沭阳县月考）已知常数a，b满足2a×22b＝8，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝125，求ab的值．

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．

【解答】解：∵2a×22b＝8，

∴2a+2b＝23，

∴a+2b＝3，

∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝125，

∴52a×54b÷53ab＝125，

∴52a+4b﹣3ab＝53，

∴2a+4b﹣3ab＝3，

∴2（a+2b）﹣3ab＝3，

∴2×3﹣3ab＝3，

解得ab＝1．

【点评】本题考查同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．

【变式1-2】（1）已知x3?xa?x2a+1＝x31，求a的值；

（2）已知243m＝310，9n＝81，求mn的值；

（3）已知a2n+1＝5，求a6n+3的值；

（4）已知xn＝2，yn＝3，求（x2y）2n的值；

（5）已知（2a﹣1）a+2＝1，求a的值．

【分析】（1）根据同底数幂的乘法以及积的乘方与幂的乘方的计算方法进行计算即可；

（2）根据幂的乘方可求出m、n的值，再代入计算即可；

（3）根据幂的乘方进行计算即可；

（4）根据幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可；

（5）根据零指数幂，﹣1的偶次幂是1，1的整数幂是1进行计算即可．

【解答】解：（1）∵x3?xa?x2a+1＝x3+a+2a+1＝x31，

∴3+a+2a+1＝31，

解得a＝9；

（2）∵243m＝（35）m＝35m＝310，

∴5m＝10，

即m＝2，

又∵9n＝81＝92，

∴n＝2，

∴mn＝4；

（3）∵a2n+1＝5，

∴a6n+3＝（a2n+1）3；

＝53

＝125；

（4）∵xn＝2，yn＝3，

∴（x2y）2n＝x4ny2n

＝（xn）4?（yn）2

＝24×32

＝16×9

＝144；

（5）由于（2a﹣1）a+2＝1，

当a+2＝0时，即a＝﹣2，此时2a﹣1＝﹣5，符合题意，

当2a﹣1＝1时，即a＝1，此时a+2＝3，符合题意，

当2a﹣1＝﹣1时，即a＝0，此时a+2＝2，符合题意，

综上所述，a＝1或a＝0或a＝﹣2．

【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，零指数幂以及有理数的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方，零指数幂以及有理数的乘方的计算方法是正确解答的关键．．

【变式1-3】（2021春?兴化市期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，例如：若5m＝54，则m＝4．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，