平面向量知识点归纳.docVIP

平面向量

2、１向量得基本概念与基本运算

１6、向量：既有大小,又有方向得量。数量：只有大小，没有方向得量.

有向线段得三要素:起点、方向、长度。零向量:长度为得向量。

单位向量:长度等于个单位得向量。

平行向量(共线向量)：方向相同或相反得非零向量。零向量与任一向量平行。

相等向量:长度相等且方向相同得向量。

17、向量加法运算:

=1\*ＧB2⑴三角形法则得特点：首尾相连．

＝２\＊ＧＢ2⑵平行四边形法则得特点：共起点。

=3\*GB2⑶三角形不等式:.

＝4\＊GB２⑷运算性质:=1\＊GB3①交换律：；

＝２＼*GB3②结合律:;=3\*GB３③.

=5\＊GB2⑸坐标运算：设，,则.

18、向量减法运算:

＝1\*GB2⑴三角形法则得特点:共起点，连终点,方向指向被减向量．

=2＼*GB2⑵坐标运算:设，，则。

设、两点得坐标分别为,,则.

１9、向量数乘运算:

＝１\＊GB２⑴实数与向量得积就是一个向量得运算叫做向量得数乘，记作。

=1\＊GB3①;

=2\*GB3②当时,得方向与得方向相同;当时，得方向与得方向相反；当时,.

=2\*GB２⑵运算律:=1＼＊GB3①；=2\*ＧB３②;=3\*GＢ3③。

=3\*GB2⑶坐标运算:设,则.

20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使。

设，,其中,则当且仅当时，向量、共线。

2、2平面向量得基本定理及坐标表示

21、平面向量基本定理:如果、就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使。(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底)

22、分点坐标公式：设点就是线段上得一点,、得坐标分别就是,，当时,点得坐标就是．(当

2、3平面向量得数量积

23、平面向量得数量积(两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与。）:

＝１\*GB2⑴。零向量与任一向量得数量积为.

=２\＊ＧB２⑵性质：设与都就是非零向量,则=1\*GＢ3①。=２\＊GB3②当与同向时,;当与反向时，;或.=3\*GB3③。

=3\*GB2⑶运算律：=１\*GB３①；=2\*GB3②;=3\＊GB３③.

=４\＊GB２⑷坐标运算:设两个非零向量,，则。

若,则，或．设,，则。

设、都就是非零向量,，,就是与得夹角，则.

知识链接:空间向量

空间向量得许多知识可由平面向量得知识类比而得、下面对空间向量在立体几何中证明,求值得应用进行总结归纳、

1、直线得方向向量与平面得法向量

⑴．直线得方向向量:

若A、Ｂ就是直线上得任意两点,则为直线得一个方向向量;与平行得任意非零向量也就是直线得方向向量、

⑵。平面得法向量:

若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作,如果,那么向量叫做平面得法向量、

⑶.平面得法向量得求法(待定系数法):

①建立适当得坐标系。

②设平面得法向量为。

③求出平面内两个不共线向量得坐标。

④根据法向量定义建立方程组、

⑤解方程组,取其中一组解,即得平面得法向量、

（如图）

用向量方法判定空间中得平行关系

⑴线线平行

设直线得方向向量分别就是，则要证明∥，只需证明∥,即、

即:两直线平行或重合两直线得方向向量共线.

⑵线面平行

①（法一）设直线得方向向量就是，平面得法向量就是，则要证明∥，只需证明,即、

即:直线与平面平行直线得方向向量与该平面得法向量垂直且直线在平面外

②(法二）要证明一条直线与一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线得方向向量就是共线向量即可、

⑶面面平行

若平面得法向量为,平面得法向量为,要证∥,只需证∥,即证、

即:两平面平行或重合两平面得法向量共线。

3、用向量方法判定空间得垂直关系

⑴线线垂直

设直线得方向向量分别就是，则要证明,只需证明,即、

即:两直线垂直两直线得方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线得方向向量就是，平面得法向量就是,则要证明，只需证明∥，即、

②(法二)设直线得方向向量就是，平面内得两个相交向量分别为,若

即：直线与平面垂直直线得方向向量与平面得法向量共线直线得方向向量与平面内两条不共线直线得方向向量都垂直。

⑶面面垂直

若平面得法向量为,平面得法向量为,要证,只需证,即证、

即：两平面垂直两平面得法向量垂直。

４、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成得角

已知