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三角换元（一）

三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2?θ+cos2?θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．

例1已知实数x,y满足?4=4，则|x|?|y|的最小值是______．

分析题中代数式?4=4是平方差为常数的形式，可以考虑利用三角代换处理．

解题中代数式可变形为?=1，令

x=,y=tanθ,

其中θ∈[0,π2)，则

|x|?|y|=?tanθ=,

表示点(0,2)与单位圆+=1,x∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：

因此，可计算得斜率的范围为(?∞,?3]，故题中所求代数式的最小值为3．

例2设?x,y为实数，若?xy+=1，求x+2y的取值范围．

分析联想到?+=1，考虑将题中?xy+=1变形，然后用三角换元进行求解．

解题中等式可化为

+=1,

进行三角换元，令

x=+cosθ,y=,

其中θ∈[0,2π)，解得

x=sinθ+cosθ,y=,,

所以

x+2y=sinθ+cosθ=sin(θ+φ),

其中sinφ=,cosφ=．

因此，x+2y的取值范围为[?,]．

总结

(1)常用于三角换元的三角恒等式有

sinθ+cosθ=1,?tanα=1,

(2)利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．

(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；

练习

1．设x,y为实数，若4++xy=1，则2x+y的最大值是______．

2．已知非零实数x,y恒满足?3+4xy≦λ(+)，则实数λ的最小值为______．

3．已知实数x,y满足+?xy=2，则++xy的取值范围为______．

答案

1．；

2．4；

3．[,6]．

三角换元（二）

例函数f(x)=+的值域为()

A．[1,]

B．[1,]

C．[1]

D．[1,2]

分析考虑到(x?3)+(4?x)=1，可用三角换元对原题进行变形求解．

解

题中函数可变形为f(x)=+

由(x?3)+(4?x)=1，可令

=sinθ,=cos?θ,

其中θ∈[0,]，此时题中函数化为

f(θ)=sinθ+cosθ,

其中θ∈[0,]，结合辅助角公式，得

f(θ)=2sin(θ+),

其中?θ∈[0,]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．

总结

(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；

(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；

练习

1．求函数y=+的值域．

2．设a,b0且a+b=5，则＋+的最大值为______．

3．若不等式x+y?≤k对任意正实数x,y成立，求k的最小值．

答案

1．[,]；

2．3；

3．．