专题巧妙构造函数应用导数证明不等式问题一篇-2019高考数学压轴命题区间探究与突破原卷版.pdfVIP

一．方法综述

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证

不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不

等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题

的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．]

二．解题策略

类型一“比较法”构造差函数证明不等式

x

－

fx＝eaxe(a

【例1】【2018届广州模拟】已知函数()为自然对数的底数，为常数)的图象在点(0,1)处

的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数fx的极值；

()

，2＜x

(2)证明：当x＞0时xe.[

【指点迷津】

3

，＝

当题目中给出简单的基本初等函数，例如fx＝xgxlnx，进而证明在某个取值范围内不等式

()()

－或＝－

fx≥gx成立时，可以类比作差法，构造函数hx＝fxgxϕxgxfx，进而证

()()()()()()()()

明hx≥0或ϕx≤0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明

()min()max

f(x)f(x)

gx0fx0，

的前提下，也可以类比作商法，构造函数＝(ϕ()=)进而证明

hxx

()(())()

gx()gx()

hx≥1ϕx≤1．

()min(()max)

【举一反三】【省佛山市区