2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）期中数学试卷（含解析）.docxVIP

2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题（共12小题，1-6题每题4分，7-12增每题5分，满分54分）

1．（4分）已知集合，集合，则．

2．（4分）函数在区间，上的平均变化率为．

3．（4分）已知，如果，那么实数的值为．

4．（4分）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为．

5．（4分）已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的表面积为．

6．（4分）展开式中的系数为．

7．（5分）已知函数，则．

8．（5分）已知角，为锐角，，，则的值为．

9．（5分）已知定义在上的函数满足，当时，，，若，则的最小值为．

10．（5分）某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参如，则每个年级都有同学被选中的概率为．

11．（5分）已知函数，，若函数有6个不同的零点．则实数的范围是．

12．（5分）已知，，，是1，2，，满足下列性质的一个排列，性质：排列，，，中有且仅有一个，2，，，当时，满足性质的数列一共有个．

二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）

13．（4分）已知，，则“，”是“”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

14．（4分）在复平面内，复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．（5分）已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，△的外接圆的面积为

A． B． C． D．

16．（5分）中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是

①曲线关于原点对称

②曲线上满足的有且只有一个

③动点到定点，距离之和的最小值为

④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为，，

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答题

17．（14分）如图，长方体中，，，点为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

18．（14分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

19．（14分）某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．

20．（18分）给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是．

（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点，作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；

（3）已知，是否存在，，使椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

21．（18分）设函数，直线是曲线在点，处的切线．

（1）当时，求单调区间；

（2）求证：不经过；

（3）当时，设点，，，，，，，，，为与轴的交点，与分别表示△和△的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？

参考答案

一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12增每题5分，满分54分）

1．（4分）已知集合，集合，则．

解：集合，集合，

则．

故答案为：．

2．（4分）函数在区间，上的平均变化率为．

解：函数在区间，上的平均变化率为．

故答案为：．

3．（4分）已知，如果，那么实数的值为4．

解：因为，且，

所以．

故答案为：4．

4．（4分）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为24．

解：某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，

需要抽取一个容量为40的样本进行调查，

则抽取的男生人数为．

故答案为：24．

5．（4分）已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，则该圆柱的表面积为．

解：由题意得，，

圆柱的表面