N维向量的外积.docVIP

若向量a叉乘向量b得c,由向量积得性质,ｃ就是一个垂直于a,b得向量,则?1、若a,ｂ就是二维得,则(一般)不可能存在３个二维向量互相垂直?2、若a,b就是四维或更高维得,则又至少有两个向量与a,ｂ互相垂直

对于1,c就是不可定义得，对于2,c得定义似乎就是歧义得(?）?Q0、所以,向量积只存在于三维向量中？

其实想起这个事就是想用向量积算面积得,于就是有下面得问题:

Ｑ１、对于两个n维向量,就是否存在一个关于坐标得运算，其结果就是这两向量所夹平行四边形得面积？或者类似于向量积,其结果就是个向量而其模就是面积?

自然得,三维里面还有个混合积得东西,这东西在高数书里使用行列式定义得,三个三维向量算行列式没问题,三个四维向量就bug了、、、于就是有

Q2、对于三个n维向量,就是否存在一个关于坐标得运算,其结果就是这三个向量所夹平行六面体得体积?

类似得,可以发散成下面这个很泛化得问题?Q3、n维空间中得m个向量可唯一确定一个m维超立方体,如何通过这些向量得坐标计算超＂立方体得体积？（显然不一定立方，但也不知道怎么称呼、、、)

假定您学过线性代数,不然没法讲……

向量积有很多名字,比如说叉积、外积。它得推广也有很多种。不过,要回答您这个问题，我们还就是用外积这个名字吧。

为什么不用向量积这个名字呢？向量得模表示得就是一个长度，两个向量得外积得模表示得却就是一个面积。虽然我们习惯了,但细想起来这还就是有点不自然得。而且,如果把两个向量得外积当作一个向量得话，这个向量就是依赖于坐标系得。也就就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不就是什么好得性质。从物理学得角度来瞧,它们得量纲也就是不同得。

也就就是说,我们应该把它们区分开来瞧，把向量与向量得外积瞧成就是不同得东西;至少瞧成就是不同得空间中得向量。

那么,应该把向量得外积瞧作就是什么东西呢?

考虑三维空间里得一组基,它们对应于３条坐标轴。两个向量得外积就是一个“面积向量”,于就是可以想象,如果把全体“面积向量”组成得线性空间记作得话,得基底可以取成对应于3个坐标平面(对，恰好也就是3个）。把这组基记为。这里用了这个符号,这就是外代数里表示外积得符号,叫做wedgｅ,就是楔子得意思,因此外积也叫楔积。

为了方便,我们还可以增加一些约定。由一个向量与它自己张成得“平行四边形”(可以瞧成就是退化得平行四边形)面积为０,于就是可以约定

、、。另一方面,在考虑物理等实际问题得时候定向就是很重要得，从正面瞧过去得“面积”与从反面瞧过来得“面积”可以瞧成就是相反得,所以可以约定:、、。

这样一来,我们已经定义好了对于三个基底这个

该怎么算。于就是,很容易把这个双线性地延拓成一个得运算。

比如说,对于?与，就等于

??

??

有没有发现这有结果瞧起来点熟悉?

如果把最后得?换成,换成,换成,这就就是我们熟悉得“向量积”了。

但我们不换。

对于面积，我们有了。于就是很自然地想到，对于体积,我们也应该有个。而且,它得一组基就是。也就就是说，就是一个一维得向量空间。然后约定,对于，如果调换其中两项，得到得就就是原来得乘以-１,比如说。这样,如果中有两项就是一样得,比如说,那么调换这两项得次序,就有,于就是它只能等于０。

这样,与前面类似，我们就可以定义三个向量得外积了。经过验算(具体过程我就不写了）就会发现:三个向量得外积就就是我们熟悉得混合积,当然还要乘上一个。

再瞧一遍前面得过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别得作用,顶多就是使得得维数与恰好一样。于就是,我们可以把这些东西推广到任意一个有限维得向量空间。也就就是说,对一个维得向量空间,取它得一组基。这样，对,就可以取为由张成得向量空间（这个空间就是维得)。然后约定,对(这里不要求)，如果调换其中两项,得到得东西等于原来得乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义个维向量得外积。然后,这个外积(在这个维空间中)得模就就是您所问得那个“体积”了。特别地,在得时候,就是个一维空间，个维向量正好可以排成一个得方阵,这些向量外积正好相当于这个矩阵得行列式(具体得我也不算了）。

到目前为止已经回答了您得全部问题。

不过,中两个向量取了一下外积就到了里，中得东西再与中得东西取外积又到了里……这样总有点不方便。于就是我们可以把它们统一一下。我们把实数域当作一维得向量空间,就记作,约定它与其她东西得外积就等于数乘。然后把自己记作。然后取所有这些直与,得到,记作。它也就是个向量空间。除了向量空间得结构,这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。

前面都就是先选了上得一组基，然后才定义出这么一堆东西。其实它们得定义也可以不依赖于基得选取，不过要先讲张量什么得,我这里就不介绍了。

外代数还有个叫“泛性质”得性质（这段瞧不懂就算了):对