2025北师大版步步高选择性必修第二册第一课时　函数的极值.DOCX

6.2函数的极值

第一课时函数的极值

课标要求1.理解函数极大值和极小值的概念.2.掌握利用导数求函数的极值.

素养要求在求函数的极值或极值点时，能够借助函数的图象解决问题，提升直观想象和数学运算素养.

1.思考如图，已知y＝f(x)，y＝g(x)的图象.

观察y＝f(x)和y＝g(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？

提示f(x0)在(a，b)内最大，g(x0)在(a，b)内最小.

2.思考对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？

提示f(x)在(a，x0)上是增加的，导数大于零，在(x0，b)上是减少的，导数小于零.函数y＝g(x)与y＝f(x)在(a，b)上的结论相反.

3.填空(1)函数极值的概念

①极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值.

②极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值.称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.

③极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

(2)函数的单调性与极值

①若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值.

②若函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.

温馨提醒(1)极值点不是点，极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.

(2)极值是函数的局部性质，函数的极值不唯一，极大值与极小值两者的大小不确定.

(3)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.

4.做一做(1)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有()

A.两个极大值，一个极小值

B.两个极大值，无极小值

C.一个极大值，一个极小值

D.一个极大值，两个极小值

(2)已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，则y＝f(x)的极小值点是()

A.－2 B.2

C.±2 D.1

答案(1)C(2)B

解析(1)由题图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x10，x2＝0，x30，当xx1时，f′(x)0，当x1x0时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1xx2时，f′(x)0，当x2xx3时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当xx3时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.

(2)f′(x)＝1－eq\f(4,x2)＝eq\f(x2－4,x2)＝eq\f(（x＋2）（x－2）,x2)(x≠0)，当f′(x)0，解得x2或x－2，当f′(x)0，解得－2x0或0x2，所以函数的单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，函数的单调递减区间是(－2，0)和(0，2)，所以函数的极小值点是2.故选B.

题型一函数极值(极值点)的概念

例1(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的集合为()

A.{x1，x2，x3} B.{x1，x3}

C.{x1，x2，x4} D.{x3}

(2)(多选)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()

A.?x∈R，f(x)≤f(x0)

B.－x0是f(－x)的极大值点

C.－x0是－f(x)的极小值点

D.－x0是－f(－x)的极小值点

答案(1)B(2)BD

解析(1)x0是函数f(x)的极小值点，当且仅当x0是f(x)定义域内的点，并且在x0左侧邻近区域f(x)的导数f′(x)0，在x0右侧邻近区域f′(x)0，即函数f(x)在x0左侧邻近区域单调递减，其图象下降，在x0右侧邻近区域单调递增，其图象上升，显然，图形中的x1与x3都满足上述条件，即x1与x3都是极小值点；在x2左右两侧邻近区域的f(x)图象都上升，即x2不是极值点，在x4左侧邻近区域的f(x)图象下降，而在x0右侧邻近区域的图象水平，x4不是极值点，所以f(x)的极小值点的集合为{x1，x3}，故选B.

(2)对于A，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点，故A不正确；

对于B，f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象，故－x0应是f(－x)的极大值点，故B