第2章 多元函数积分学.pptVIP

2.3二重积分的应用2.3.3经济方面例2-11(平均利润)某公司销售商品Ⅰx二个单位，商品Ⅱy个单位的利润为现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化.求销售这两种商品一周的平均利润.解由于x，y的变化范围D={(x，y)︱150≤x≤200,80≤y≤100}，所以D的面积σ=50X20=1000.由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为上一页下一页返回2.3二重积分的应用上一页返回图2.1返回图2.2返回图2.3返回图2.4返回图2.5返回图2.6返回图2.7返回图2.8返回图2.9返回*第2章多元函数积分学2.1二重积分的概念和性质2.2二重积分的计算方法2.3二重积分的应用返回2.1二重积分的概念和性质在一元函数积分学中，定积分是一种和式的极限，若被积函数由一元函数推广到多元函数，积分区间推广到区域、曲线或曲面上，便得到重积分、曲线积分和曲面积分，这就是多元函数积分学.限于本课程的要求，我们在这里仅介绍二重积分的概念、性质、计算及应用.「先行问题」我们知道一元函数定积分 几何意义是曲线?(x)在区间「a，b」上的曲边梯形的面积，推广到多元函数的重积分 其几何意义是曲、?(x，y)在平面区域D上的“曲顶柱体”的体积，具体的定义见下面的分析.下一页返回2.1二重积分的概念和性质2.1.1二重积分的概念「先行问题」对于定积分，我们通过微积分的学习知道它的几何意义是表示一个一元函数y=?(x)在某个区间「a，b」内与x轴所围成图形的面积(见图2.1),同时我们用微元法分析了其计算方法，而实际上该图形的面积可以认为是边线x=a两端分别沿着y=?(x)和x轴移动到边线x=b所经过的平面部分，因此是对曲线进行的积分，那么若在空间坐标系中，给定一个曲面，如 (见图2.2)，它是一个曲面，若在平面xoy为给定一个方形区域，当它从下至上移动经过曲面时，将与曲面相交形成一个闭区域的立体图形，我们称为曲顶柱体，那么根据一重定积分可以求平面闭区域图形的面积的思想，空间中立体闭区域所形成的立体图形是否一也可以用积分来诊释?上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质下面我们仍然用微元法的思想来解决这个问题.1.求曲顶柱体的体积设在空间直角坐标系中有一由闭合曲面所组成的立体，它的底是xoy面上的有界区域D(简称区域)，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=?(x,y),设?(x,y)≥0且在D上连续，这种立体称为曲顶柱体，如图2.3所示.我们知道，平顶柱体的体积可用公式:体积=底面积X高来计算.但曲顶柱体的高度?(x，y)(x，y)∈D)是个变量，它的体积不能直接用上述公式计算.为了解决这个矛盾，我们用类似于定积分中求曲边梯形面积的方法.用一组曲线网将区域D分成n个小区域:△σ1，△σ2，…,△σn，且用上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质△σi表示第i个小区域△i的面积，分别以这些小区域的边界为准线，作平行于z轴的柱面，这些柱面把原先的曲顶体分成n个小的曲顶柱体:△V1,△V2,...,△Vn.当这些小区域的直径(△σi的直径为△σi中两点间距离的最大者)很小时，由于?(x，y)连续，对同一个小区域来说，?(x，y)变化很小，这时可近似地将小曲顶柱体看做平顶柱体.因此,在区域△σi中任取一点 ，用以△σi为底、? 为高的平顶小柱体的体积近似地代替小曲顶柱体的体积△Vi,即△Vi≈? △σi(i=1,2,...,n).这n个平顶小柱体体积之和就是整个曲顶柱体体积V的近似值:上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质记n个小区域的直径中的最大值为λ，当λ→0时，就得到曲顶柱体体积的值上面问题把所求量归结为求和式的极限.由于在物理、力学、几何和工程技术中，许多物理量与几何量都可归结为这种和式的极限，所以有必要研究这种和式极限，并抽象出下述二重积分的定义.2.二重积分的定义定义2.1设?(x，y)是闭区域D上的有界函数，把区域D分成n个小区域:△σ1，△σ2，…，△σn，其中，△σi既表示第i个小区域，又表示它的面积.在每个小区域△σi中任取一点 ，作乘积?上一页下一页返回2.1二重积分的概念和性质△