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第七节无穷小的比较

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例如,当x0时,x,x,sinx,xsin都是无穷小.

x

2

x2

lim0,x比3x趋近零的速度要快得多;

观x03x

察sinx

各lim1,sinx与x大致相同;

极x0x1

限x2sin

x1

lim2limsin不存在.不可比.

x0xx0x

极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不

同.

设,是同一过程中的两个无穷小,且0.

定义:

就说是比高阶的无穷小记作,o();

(1)如果lim0，





(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;





特殊地如果lim1,则称与是等价的无穷小;



记作~;



(3)如果limC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小;

k





(4)如果lim,就说是比低阶的无穷小.



例如,当x0时,x,x2,sinx都是无穷小.

2

x是比x高阶的无穷小.

sinx与是x等价的无穷小.

例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

4xtan3xtanx3

解lim44lim()4,

x0xx0x

故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

常用等价无穷小:#P54

当x0时,

sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,

arctanx~x,ln(1x)~x,ex1~x,

？P68例6,例7

121x

1cosx~x,(1x)n1~

2n