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专题06勾股定理的证明

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必备知识点

1．勾股定理的性质

定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

222

RtABCabc

（即：在△中，如果，为直角边，为斜边，那么abc。）

勾股定理的变式：

2222222222

、、、

acbbcacabacb

2.勾股定理的证明

1

（）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的

方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．

2

（）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图

形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．

题型精炼

1．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形

，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，

数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴

2

影部分的面积是（）cm．

A．169B．25C．49D．64

【分析】由勾股定理求出BC的长，则可得出答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，

BC＝＝＝12（cm），

∴阴影部分正方形的边长为12﹣5＝7（cm），

2

∴阴影部分正方形的面积为7×7＝49（cm），

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

2．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的

，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到

如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

A．148B．100C．196D．144

【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．

【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，

根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，

∵∠BCD＝90°，

222222

∴BC+CD＝BD，即7+24＝BD，

∴BD＝25，

∴AD+BD＝12+25＝37，

∴这个风车的外围周长是37×4＝148．

故选：A．

【点评】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．

3．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《

勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角

22

三角形的直角边长分别为a、b，且a+b＝ab+10，那么小正方形的面积为（）

A．2B．3C．4D．5

2222

【分析】由正方形1性质和勾股定理得a+b＝18，再由a+b