数学素材：第一讲三相似三角形的判定及性质.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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教材习题点拨

探究1

解：如果D，E交于BA，CA的延长线上,且DE∥BC,仍有△ADE∽△ABC.

证明：在AB，AC上分别截取AD′＝AD，AE′＝AE，连接D′E′，则

△AD′E′≌△ADE,

∴∠AD′E′＝∠D.∴DE∥D′E′.

又∵DE∥BC，∴D′E′∥BC。

∵在△ABC中，D′，E′分别是AB，AC边上的点，且D′E′∥BC，

∴△AD′E′∽△ABC。

∴△ADE∽△ABC.

探究2

解：两边对应成比例，且夹角相等时，两个三角形一定相似．

已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中,∠A＝∠A′，eq\f(A′B′，AB)＝eq\f(A′C′,AC）.

求证：△ABC∽△A′B′C′。

证明：如图，在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线)上截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，连接DE，因为∠A＝∠A′，所以△ADE≌△A′B′C′.

由条件eq\f(A′B′，AB)＝eq\f(A′C′，AC)以及AD＝A′B′,AE＝A′C′,有eq\f（AD,AB)＝eq\f(AE,AC）.

过D作直线DE′∥BC，交AC于点E′，则eq\f（AD，AB）＝eq\f（AE′，AC）.

所以eq\f(AE，AC)＝eq\f（AE′，AC).所以AE＝AE′。

因此点E与点E′重合，即直线DE′与直线DE重合．所以DE∥BC.

由预备定理可知，△ABC∽△ADE,所以△ABC∽△A′B′C′.

探究3

证明：在AB上截取AD＝A′B′，过D作DE∥BC,交AC于点E。

∴△ADE∽△ABC。

∴eq\f（AD,AB）＝eq\f(AE,AC),即eq\f(AC，AB）＝eq\f（AE,AD)。

又∵eq\f(A′B′，AB)＝eq\f（A′C′，AC），即eq\f(AC，AB)＝eq\f(A′C′，A′B′)，

∴eq\f（AE，AD）＝eq\f（A′C′,A′B′).

又∵AD＝A′B′，∴AE＝A′C′.

∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′。

∴△ABC∽△A′B′C′。

思考1

解：与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等特殊的边角关系．这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化．

思考2

解：两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比，内切圆的直径比、周长比、面积比都与相似比有关．

习题1.3

1．证明:如图，∵四边形BCED为圆内接四边形，

∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC。

∴△ADE∽△ACB。

∴eq\f(AD，AC)＝eq\f(AE，AB).

点拨：本题应用相似三角形判定及性质可得结论．

2．证明：(1）如图，∵四边形ABCD是圆内接四边形,

∴∠ABE＝∠ACD.

又∠BAE＝∠CAD，

∴△BAE∽△CAD。∴eq\f(AB,BE）＝eq\f（AC，CD).

∴AB·CD＝AC·BE。

（2)∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ADE＝∠ACB。

又∠CAD＝∠BAE,

∴∠CAD＋∠EAC＝∠BAE＋∠EAC，即∠EAD＝∠BAC。

∴△EAD∽△BAC.

∴eq\f(AD,ED）＝eq\f（AC，BC）。∴AD·BC＝AC·ED.

点拨：本题要注意作出标准的图形,应用三角形相似的判定定理和性质定理得出结论．

3．解：若△ABC∽△A′B′C′，则eq\f（AB,A′B′)＝eq\f(AC，A′C′)，∴eq\f(a,a′）＝eq\f（b,A′C′)。∴A′C′＝eq\f(a′b，a)。

∴当A′C′＝eq\f(a′b，a）时，△ABC∽△A′B′C′。

点拨:本题先应用三角形相似的判定定理得到△ABC∽△A′B′C′，然后再应用三角形相似的性质定理得出结论．

4．作法：(1)作线段B′C′，使B′C′＝eq\f（3，2）BC;

（2）以B′为顶点，B′C′为始边作∠D′B′C′＝∠B；

(3)在B′D′上截取线段B′A′，使B′A′＝eq\f（3,2）AB；

(4）连接A′C′，则△A′B′C′为所作三角形．

5．证明:∵EF∥AD∥BC，

∴eq\f（GE,GB）＝eq\f（EF，BC)，eq\f（HE,HA)＝eq\f（EF,AD）.

∵AD＝BC，∴eq\f(GE，GB）＝eq\f(HE,HA）。∴eq\f（GE,BE)＝eq\f(HE,AE)。

又∵∠AEB＝∠HEG,

∴△AEB∽△HEG.

∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB。

6．证明:∵DE∥AB，∴eq\f(DE，AB)＝eq\f(OE,OB)。

又∵EF∥BC，∴eq\f（EF，BC)＝eq\f(OE