经济应用数学电子教案 1.1导数的概念.docVIP

经济应用数学

课题

导数的概念（2学时）

时间

年月日

教学

目标

1.理解导数、导函数的概念。

2.会用导数概念求常用函数的导数。

重点

理解导数的概念。

难点

会求基本初等函数的导数。

教学

方法

手段

讲授为主，数形结合。

主要

内容

时间

分配

引例1、25分钟

导数

1.导数、导函数20分钟

2.求导一般步骤5分钟

例1-例320分钟

常用的导数公式10分钟

例4-例55分钟

练习10分钟

小结15分钟

作业

备注

【引例】

1.变速直线运动的瞬时速度

一物体作直线运动，则位移是时间的函数，记为.从时刻到的时间间隔内物体的平均速度为

．

当物体作匀速直线运动时，这个平均速度就是时刻的瞬时速度.但对于变速直线运动，它只能近似地反映时刻的瞬时速度.显然对于确定的，越小，就越接近时刻的瞬时速度．

当，的极限若存在，则称此极限值为物体在时刻的瞬时速度，即

．

2.曲线切线的斜率

设点是曲线上的一个定点，在曲线上另取一点，作割线.当动点沿曲线向定点移动时，割线的极限位置则称为曲线在点的切线，如图1-2所示.

设曲线的方程为，记，，则割线的斜率为

,

其中,为割线的倾斜角.当点沿曲线趋向点时，．如果时，上式的极限存在，

则此极限就是切线的斜率.这里,，是切线的倾斜角．

上述引例的实际意义虽然不同，但从数量关系来看，它们都是求函数的增量与自变量增量之比的极限.

s

s

t

t0

s(t0)

s(t)

△t

0

【主要内容】

一、导数

1.导数

定义1设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量时，相应的函数有增量.如果时，极限存在，则称函数在点处可导，称此极限值为函数在点处的导数，记作，即

==，

也可记作或．

如果极限不存在，则称函数在点处不可导．

定义2如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导.这时对于区间内的每一个值，都有惟一确定的导数值当取遍内一切值时，这样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作

，或，或，或

按照导数的定义，有

显然函数在点的导数就是导函数在点处的函数值，即

2．求导数的一般步骤：

（1）写出函数的增量；

（2）计算比值；

（3）求极限.

【例1】求常函数(为常数)的导数.

解（1）求增量

（2）算比值

（3）取极限

即，也就是，常数的导数为零.

【例2】求函数的导数.

解（1）求增量…

（2）算比值…

（3）取极限

即.

【例3】求函数的导数.

解（1）求增量

（2）算比值

（3）取极限

即.

二、常用函数的导数公式

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）；

（13）；

（14）；

（15）；

（16）.

【例4】求函数的导数．

解由公式，可得．

【例5】求函数的导数．

解由公式，可得．

【课堂练习】

1.设，求和.

2.求下列函数的导数．

（1）；（2）.

【课堂小结】

1.理解导数、导函数的概念。

2.熟练使用常用函数的导数公式。