2024年-人教版数学九年级上册第15讲 三角形的基本知识及全等三角形 教案.docVIP

读书不觉已春深，一寸光阴一寸金

读书不觉已春深，一寸光阴一寸金

PAGE/NUMPAGES

读书不觉已春深，一寸光阴一寸金

第15讲一般三角形及其性质

知识清单梳理

知识点一：三角形的分类及性质

关键点拨与对应举例

1.三角形的分类

（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类

失分点警示：

在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.

例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.

2.三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3.角的关系

（1）内角和定理：

①三角形的内角和等180°；

②推论：直角三角形的两锐角互余.

（2）外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.

②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.

利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.

4.三角形中的重要线段

四线

性质

（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.

（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.

角平分线

角平线上的点到角两边的距离相等

三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）

中线

将三角形的面积等分

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

高

锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部

中位线

平行于第三边，且等于第三边的一半

5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结

如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；

如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；

如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；

如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.

对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.

知识点二：三角形全等的性质与判定

6.全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边、对应角相等．

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．

(3)全等三角形的周长等、面积等．

失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.

7.三角形全等的判定

一般三角形全等

SSS（三边对应相等）

SAS（两边和它们的夹角对应相等）

ASA（两角和它们的夹角对应相等）

AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

失分点警示

如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.

直角三角形全等

(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）

(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.

8.全等三角形的运用

（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.

（2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.

③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.

例：

如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.