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3.7切线长定理知识梳理与培优练习北师大2024—2025学年九年级下册

【知识梳理】

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．

1.证明切线长定理

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．

证明：

2.若PO与圆相分别交于C、D,连接AB于PO交于点E,图中相等的线段有，相等的角有，相等的弧有，互相垂直的线段有，全等的三角形有。

3.__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。其性质是.

【知识运用】

例题1.已知AB∥CD,⊙O切AB、BC、CD分别于E、F、G。且BE=4，CG=9.

求BC的长。

求⊙O半径的长。

例题2.正方形ABCD,以BC为直径作⊙O，E在CD上，AE切⊙O于点F.AB=4.

求DE的长。

求BF的长。

例题3.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的长。

内切圆半径的求法与内心的性质运用

例题4.已知，如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；

???

例题5.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．

例题6.△ABC中，I为内心，O为外心，AI的延长线交⊙O于E.证明;EI=EC.

例题7.AB为⊙O的直径，PB、PD为⊙O的切线，B、D为切点，PO交⊙O于E，交BD于F.证明：E为△PBD的内心。

巩固练习

1.如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P=70°，则∠C=

2.已知：如图5，⊙O是△ABC的内切圆，切点

分别为D、E、F，（1）图中共有对相等线段？

（2）若AD=4，BC=5，CF=6，则△ABC的周长是＿＿；

（3）若AB=4，BC=5，AC=6，则AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.

3.在⊿ABC中，∠A=50°

（1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC=.

(2)若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC=.

4.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．

（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．

5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切

线，切点为Q，交PA、PB为E、F点，已知，求△PEF的周长.

6.如图，边长为6的正三角形的内切圆半径是_________．

7.如图，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，AC=5，BC=12，则内切圆的半径长为

8.如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．