八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球学生版 .pdfVIP

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求岀球半径，三棱锥与长方体的外接球相同）

222222

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）^abc，即2^jabc，求岀R

例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

A.16二B.20:C.24二D.32:

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是____________________

S-ABCM、NSCBCAM_MNSA=2-3

（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱、,则正

三棱锥S-ABC外接球的表面积是____________。

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：

如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接

SH，则H是底面正三角形ABC的中心，.SH_平面ABC，

.SH_ABAC=BCAD=BD.CD_AB.AB_

，，，，平面

SCD,AB_SC，

同理：BC_SA，AC_SB，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，-AM_MN，SB//MN，

(3)-1

AM_SB，AC_SB，SB_平面SAC，题

SB_SA，SB_SC，SB_SA，BC_SA，

SA丄平面SBC二SA丄SC，故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互垂直，

222236

(2R)=(2.3)(^.3)(^-.3)^364R=36

，即，外接球的表面积是：

（4）在四面体S-ABC中，SA_平面ABC，■BAC=120,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球

的表面积为（）

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是___________

（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方

形，则该几何体外接球的体积为___________

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1•题设：如图5，PA_平面ABC

解题步骤：

第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径AD，连接PD，则PD必过球心O；

O

第二步：O1为ABC的外心，所以OO1—平面ABC，算岀小圆Oi的半