2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　4.1　导数的加法与减法法则.docx

4．1导数的加法与减法法则

[学习目标]1.理解并掌握导数的加法法则与减法法则.2.能利用导数公式和加法法则与减法法则求函数的导数．

一、导数的加法与减法法则及简单求导

问题1已知f(x)＝x，g(x)＝eq\f(1,x).则f(x)，g(x)的导数分别是什么？

问题2你能利用导数的定义求出y＝Q(x)＝x＋eq\f(1,x)，H(x)＝x－eq\f(1,x)的导数吗？

问题3上述问题中，Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？

知识梳理

两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即

[f(x)＋g(x)]′＝________________，

[f(x)－g(x)]′＝________________.

例1求下列函数的导数：

(1)y＝x4＋x3－ln5；

(2)y＝lnx－sinx；

(3)y＝5x＋log2x－3.

反思感悟应用加法、减法法则求导时的注意点

(1)函数的解析式是基本初等函数的和与差构成的形式．

(2)熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提．

跟踪训练1求下列函数的导数：

(1)y＝lgx－ex；

(2)y＝x7＋tanx；

(3)y＝sinx＋cosx－3x.

二、求复杂函数的导数

例2求下列函数的导数：

(1)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)－\f(1,x2)))；

(2)y＝1＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).

反思感悟应用加法、减法法则求导数的两种技巧

(1)分拆函数，判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式．

(2)恒等变形，对三角函数式的求导，注意运用三角恒等式先化简再求导．

跟踪训练2求下列函数的导数：

(1)y＝(eq\r(x)＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－1))；

(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3))).

三、导数的加法与减法法则的应用

例3曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________．

反思感悟求切线方程时的关注点

(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．

(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：

①切点坐标满足曲线方程；

②切点坐标满足对应切线的方程；

③切线的斜率是函数在此切点处的导数值．

跟踪训练3函数f(x)＝x4－x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()

A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1

C．y＝x－1 D．y＝x＋1

1.知识清单：

(1)导数的加法与减法法则．

(2)利用导数的加法与减法法则求函数的导数．

(3)利用导数的加法与减法法则解决与切线有关的问题．

2．方法归纳：公式法、待定系数法．

3．常见误区：公式记忆混乱．

1．函数y＝x2＋ex＋2的导数为()

A．y′＝2x＋ex＋2 B．y′＝2x＋ex

C．y′＝2x2＋ex D．y′＝2x＋exlge

2．已知函数f(x)＝cosx－sinx，f′(x)为函数f(x)的导函数，那么f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于()

A.eq\f(1－\r(3),2) B.eq\f(\r(3)－1,2)

C．－eq\f(1＋\r(3),2) D.eq\f(1＋\r(3),2)

3．已知函数f(x)＝－2x＋lnx，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为()

A．x＋y－1＝0 B．x－y－3＝0

C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0

4．已知f′(1)＝13，则函数g(x)＝f(x)＋x在x＝1处的导数为________．