矩阵的基本运算.ppt

关于矩阵的基本运算例如为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应的元素相等,即则称矩阵A与矩阵B相等，记作1、运算定义运算规则第2页,共28页，星期六，2024年，5月设有两个m?n矩阵A?(aij)和B?(bij)?矩阵A与B的和记为A?B?规定为A?B?(aij?bij)?即矩阵的加法注只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.第3页,共28页，星期六，2024年，5月矩阵加法的运算规律设A?B?C都是m?n矩阵?则(1)A?B?B?A?(2)(A?B)?C?A?(B?C)?设矩阵A?(aij)?记?A?(?aij)??A称为矩阵A的负矩阵；另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；由此，规定矩阵的减法为A?B?A?(?B)，例如(3)A=A+O=O+A?第4页,共28页，星期六，2024年，5月矩阵的数乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.矩阵数乘的运算规律第5页,共28页，星期六，2024年，5月矩阵乘法把此乘积记作是一个s×n矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵其中设是一个m×s矩阵,例如第6页,共28页，星期六，2024年，5月求AB.例若解第7页,共28页，星期六，2024年，5月注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.乘积AB维的关系=——A可左乘B的可相乘条件.第8页,共28页，星期六，2024年，5月练习计算下列矩阵的乘积，并观察结果.注两个矩阵相乘,乘积有可能是一个数.第9页,共28页，星期六，2024年，5月第10页,共28页，星期六，2024年，5月第11页,共28页，星期六，2024年，5月结论两个n阶对角阵之积仍为n阶对角阵.结论两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.第12页,共28页，星期六，2024年，5月注矩阵乘法不满足交换律,即(左乘分配律)(右乘分配律)矩阵乘法的运算规律例如设则两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵第13页,共28页，星期六，2024年，5月问题矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？(1)AB有意义，但BA没意义；(2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵；(3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.结论在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序“左乘”“右乘”但也有例外，比如设则有定义满足AB=BA的矩阵称为可交换的.结论两个同阶对角矩阵是可交换的.第14页,共28页，星期六，2024年，5月EA=AE=A结论n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即证明设为任意n阶矩阵,则有第15页,共28页，星期六，2024年，5月注矩阵乘法不满足消去律，即例如设有则但是注该例也说明注此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位相当.即第16页,共28页，星期六，2024年，5月并且若A是n阶方阵,则Ak为A的定义(方阵的幂次)的k次幂,即定义(方阵的多项式)注显然只有方阵的幂才有意义?第17页,共28页，星期六，2024年，5月解例由此归纳出第18页,共28页，星期六，2024年，5月用数学归纳法证明:假设k=n时成立,则k=n+1时,例解归纳出第19页,共28页，星期六，2024年，5月所以对于任意的k都有第20页,共28页，星期六，2024年，5月转置矩阵（transpose）把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作例转置矩阵的运算规律转置运算对乘积的去括号法则第21页,共28页，星期六，2024年，5月解1例已知解2第22页,共28页，星期六，2024年，5月定义(对称阵)设A为n阶方阵,如果满足，那么A称为对称阵.即注对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即aii=0是3阶反对称矩阵.例如第23页,共28页，星期六，20