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“四大妙法”，剖析向量的秒杀体系

目录

一、重难点题型方法

妙法一：奔驰定理与四心问题

题型一：奔驰定理

题型二：重心问题

题型三：内心问题

题型四：外心问题

题型五：垂心问题

妙法二：极化恒等式

题型六：极化恒等式的应用

妙法三：隐圆

题型七：定点定长；定弦定角；对角互补；到两定点数量积(平方和)定值

题型八：阿波罗尼斯圆

妙法四：等和线

题型九：等和线的应用

二针对性巩固练习

重难点题型方法

妙法一：奔驰定理与四心问题

题型一：奔驰定理

【典例分析】

例1.(2023全国·高三专题练习·)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图

形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O



是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为S,S,S，则有S⋅OA+S⋅OB+S⋅

ABCABC





OC=0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命

题不正确的有()





A.若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心





B.若OA+2OB+3OC=0，则S:S:S=1:2:3

ABC

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5π9

C.若OA=OB=2,∠AOB=+3OB+4OC=0=

，2OA，则S

6△ABC2





D.若O为△ABC的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0

【答案】C

【分析】对于A，假设D为AB的中点，连接OD，由已知得O在中线CD上，同理可得O在其它中线

上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得S:S:S=

ABC

9

2:3:4，再利用三角形面积公式可求得S=1，即可计算出S=，可得C错误；选项D，由垂心的

C△ABC4

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