高职数学课件 2.6 微分.pptVIP

高等数学第2章导数与微分2.6.1微分的概念2.6.2微分的几何意义2.6.3微分公式与微分法则2.6.4微分在近似计算中的应用2.6微分所以当时，例１一正方形金属薄片的下边和左边固定后受热膨胀，其边长从2.6.1微分的概念Δxx0变到，问此薄片的面积增加了多少？解当边长为时，面积相应增量为又因为所以由此引入函数微分的概念．定义3设在某区间内有定义，如果函数的增量可以表示为：其中A是与无关的常数，而是当时比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，并称叫做函数在点处的微分，记作，即（1）因为函数在点的增量为所以．于是我们把（1）式写成（2）定理1函数在点处可微函数在点处可导，且，即在（3）式的两边除得（4）（3）在点处可微定理2函数在点处可导，且或（6）（5）所以导数也叫微商，这种符号在前面已引进，现在可以知道其真实的含义了．例如由（5）式，函数，的微分分别为：例2求函数在点处的微分．解由于，，所以，由（3）式，在点处的微分为NTMP6.2微分的几何意义如图所示，就是曲线y=f(x)在点P处切线的纵坐标的增量，而?y就是曲线y=f(x)的纵坐标的增量.xx+?xy=f(x)yxaOPN=dx，NM=?y，所以dy=NT，NT=PNtan?=f?(x)dx，即函数y=f(x)的微分dyMNPNTNdy1．基本初等函数的微分公式导数公式微分公式２．函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商微分法则3．复合函数的微分法则例3设，求．解把看成中间变量，则与复合函数求导运算一样，对复合函数的微分也不必写出中间变量，而直接按照“逐层微分”的方法逐层求出．例4设，求．解例5求函数的微分．解例6将下列括号内填入适当的函数，使等式成立．(1)．；解(1)．因为，所以即一般地，(C为任意常数)．．所以填(2)．解．因为，所以即一般地，有，(C为任意常数)．．所以填2.5.4微分在近似计算中的应用1．计算函数增量的近似值如果函数在点处的导数，且很小时，有例7在一批半径为的金属球的表面镀一层厚度为的铜．估计一下每只球需用铜多少克？(铜的密度是8．9g/cm3)．解球的半径为，增量为设球的体积函数的增量时，．则需铜的体积是于是镀每只球需用铜约为：(克)．2．计算函数值的近似值计算公式为：例8求的近似值．解这就是求函数当，时的近似值．因为所以即例9微分计算的近似值．解，设，则．取，则由公式有如果在（2）式中取,便得应用（3）可以推出下列工程上常用近似公式(当很小时)：(3)