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虚位移原理

2引言分析静力学:考虑约束的限制运动方面，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功静力学分为刚体静力学和分析静力学刚体静力学（几何静力学）:用几何的方法研究刚体的平衡.直接研究主动力和约束反力的关系

3⑴选取研究对象，取分离体；刚体静力学解题步骤⑵进行受力分析，画受力图；⑶建立平衡方程；⑷求解平衡方程。?用虚位移原理处理平衡问题只在需要求解约束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束无须解除全部约束!

4?约束的定义质点系分为自由质点系和非自由质点系?约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束用数学方程来表示的限制条件称为约束方程如§1约束虚位移虚功

5⒈几何约束和运动约束几何约束---只限制质点或质点系在空间的位置xyoφlMlABxoy实例rω?约束的分类

6⒉定常约束和非定常约束定常约束非定常约束f(x,y,z)=0f(x,y,z，t)=0xyoφlMv稳定约束不稳定约束如如------约束方程中不显含时间t的约束。------约束方程中显含时间t的约束。在任意瞬时t，其约束方程为

7------如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束------如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束⒊双面约束和单面约束双面约束单面约束如单摆刚性摆杆约束不可伸长的绳约束……双面约束……单面约束约束方程分别为：

8------约束方程中不含导数或可积分为有限形式。⒋完整约束和非完整约束完整约束非完整约束☆本章只讨论：完整的、定常的、双面的、几何约束！------约束方程总是微分形式。

9二、虚位移在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一虚位移的特点：虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量与实位移相比：虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，也可为有限值虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关

10?虚位移常用?r、?x、?s、??等表示；①δ---等时变分算子符号（变分符号）；②δ---表示无限小的变更；③δ的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。?说明?关于符号δ

11斜面对于物块M的约束是定常约束。MM?在图示瞬时，物块M在dt内发生的无限小的实位移dr沿斜面向下。?物块M的虚位移可以是沿斜面向下的δr1，drδr1?物块M置于固定的斜面上，实位移是力学现象，虚位移是几何概念也可以是沿斜面向上的δr2，因为δr1，δr2都是约束所容许的。δr2在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。可见，

12AB三、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用δW表示。δφδW=－FδrB力偶M的虚功：δW=Mδφ力F的虚功：=FδrcosφFδrφmMxoyF于是，δrBδW=F·δr

13§2虚位移原理?具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。?矢量表达式为?坐标分解式为虚功原理虚功方程静力学普遍方程

14?虚功原理的证明⑴必要性的证明：质点系平衡设质点系由n个质点组成，Fi-----主动力的合力Ni-----约束反力的合力则Fi+Ni=0∴?WFi+?WNi=n个方程求和得∵系统的约束为理想约束，∴∑Ni·?ri=0第i个质点Mi平衡，受力有(Fi+Ni)·?ri=0（i=1,2,…，n）0

15⑵充分性的证明：用反证法质点系平衡设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该质点系不平衡，即至少有一个质点Mj不平衡，Fj+Nj＝Rj≠0由静止开始运动，质点Mj实位移drj应沿着Rj的方向该质点的合力在实位移中的元功为Rj·drj=（Fj+Nj）·drj＞0∵质点系受定常约束，∴drj∈δrj∴∑（Fj+Nj）·?rj＞0∴∑Fi·?ri＞0这与假设矛盾！∴质点系必然平衡。

16?虚位移原理的应用研究平衡状态1、确定主动力之间的关系或平衡位置2、求解其内力或约束反力

17螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N，试求举起重物B的重量。不计各处