数学素材：点、线、面之间的位置关系.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

教材习题点拨

思考与讨论

答：都共面，如图,a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a,则a、c可确定一个平面α.

因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c,所以B∈α，所以AB?α，即b?α.所以a、b、c共面．

同理在a上任取一点作b的平行线,都与a、b共面，所以这些平行线都共面．

练习A

1．(1)真命题；（2)真命题；(3）假命题;(4）假命题．

2．由基本性质1可知,直线AB在平面α内．

3．说明基本性质2不共线的三点确定一个平面这一道理．

4．因为平行四边形和梯形中都有一组对边平行，由平面基本性质的推论3得:由这组平行对边可确定一个平面,再由基本性质1不难证出另一组对边也在这个平面内．

5．在空间，两条直线的位置关系有平行、相交和异面三种情况．

6．略．

练习B

1．可以用细线分别连接相对的两条腿下端，若两条连线能交于一点,说明四条腿的下端在同一个平面内，否则不在同一个平面内．

2．点M在交线BD上．

∵EF∩GH＝M，∴M∈EF,M∈GH.

又∵EF、GH分别在平面ABD和平面CBD内，

∴M∈平面ABD，且M∈平面CBD。

又∵平面ABD∩平面CBD＝BD，

∴M∈BD。

3．一个平面能把空间分成2部分；两个平面能把空间分成3或4部分;三个平面能把空间分成4或6或7或8部分．

4．一个角一定是平面图形，由平面基本性质和推论2直接能得到．圆是平面图形由圆的定义得到．

5．三棱锥SABC如图所示，其中SA与BC、SB与AC、SC与AB都是异面直线．

6．(1）A∈l,B?l;(2）l?α，m?α,m∩α＝M；（3)α∩β＝l,A∈l。

7．略．

思考与讨论

结论1：空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角相等．

结论2：空间中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角互补．

证明:对于结论1,如图（1)，延长CA到C2，延长BA到B2。

由于BA∥B1A1，∴B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.

易知∠BAC＝∠C2AB2，且AB与AB2,AC与AC2方向相反,

可知AB2与A1B1,AC2与A1C1方向相同，由等角定理可知,∠B2AC2＝∠B1A1C1.从而有∠BAC＝∠B1A1C1.

所以结论1是成立的．

对于结论2，如图(2)，AC与A1C1平行且方向相同,AB与A1B1平行且方向相反，延长BA到B2，就有AB2∥A1B1,且AB2与A1B1方向相同．由等角定理可知∠B2AC＝∠B1A1C1，由于∠B2AC＋∠BAC＝180°，

∴∠BAC与∠B1A1C1互补．

练习A

1．把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形,每个矩形的竖直边是互相平行的，再应用基本性质4，可知它们的折痕是互相平行的．

2．证明：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(AA′∥BB′,AA′＝BB′))?四边形AA′B′B是平行四边形?AB＝A′B′。同理可证BC＝B′C′,AC＝A′C′.因此△ABC≌△A′B′C′。

练习B

1．（1）×如图所示长方体ABCD－A′B′C′D′，则∠ABC＝∠BB′C′且BC∥B′C′,但AB与BB′不平行．

（2)×因为在空间四边形中，若四条边不共面则一定不是菱形．

2．证明:在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，所以EF∥AC,EF＝eq\f（1，2）AC.

同理HG∥AC，HG＝eq\f(1，2）AC，所以EF∥HG,EF＝HG,

所以四边形EFGH是平行四边形．

又因为EF＝eq\f(1，2)AC，且EH＝eq\f（1,2)BD，AC＝BD。

所以EF＝EH。所以四边形EFGH是菱形．

探索与研究

答:图形经过平移后与原图形是全等的,只是位置发生了变化，对应角的大小和对应两点的距离保持不变．

练习A

1．直线在平面内,直线与平面相交，直线与平面平行．

2．过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行．

3．是,因为CD∥AB，由直线和平面平行的判定定理可知CD与桌面所在的平面平行．

4．(1）平面A′B′C′D′，平面DCC′D′；

(2）平面BCC′B′，平面DCC′D′；

(3）平面A′B′C′D′，平面BCC′B′.

练习B

1．（1）×当a在经过b的平面内时，结论不成立．

(2)√经过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在所作的平面内，经过该点存在着无数多条直线与已知平面平行．

2．(1）×直线不在平面内有两种情形:直线与平面平行，直线与平面相交．

（2)√因为由平行公理知，过直线外一点可以作唯一一条直线与已知直线平行，过所作的直线可以存在