经济应用数学电子教案 3.4抽样及抽样分布2.docVIP

经济应用数学

课题

样本及抽样分布2（2学时）

时间

年月日

教学

目标

1.理解统计量等相关概念。

2.掌握常用的统计量及其在实际中的应用。

重点

理解统计量等相关概念。

难点

掌握常用的统计量及其在实际中的应用。

教学

方法

手段

讲授为主，理论联系实际。

主要

内容

时间

分配

统计量10分钟

例1-215分钟

二、常见统计量的分布

1.样本均值的分布10分钟

例310分钟

2.分布10分钟

3.分布15分钟

练习15分钟

小结5分钟

作业

备注

【主要内容】

一、统计量的概念

定义1不含有未知参数的样本的函数称为统计量．

设为来自总体的样本，则下列统计量都是常用的统计量：

样本均值．

样本方差．

样本标准差．

【例1】设总体～，其中是未知参数，若为来自总体的一个样本，则都是统计量，而，，都不是统计量．

【例2】某厂实行计件工资制，为及时了解情况，随机抽取30名工人，调查各自在一周内加工的零件数，然后按规定算出每名工人的周工资如下（单位：元）：156,134,160,141,159,141,161,157,171,155,149,144,169,138,168,147,153,156,125,156,135,156,151,155,146,155,157,198,161,151.试求:（1）样本均值；（2）样本方差；（3）样本的标准差．

解（1）由样本均值公式

；

（2）由样本方差公式

；

（3）由样本标准差公式

．

二、常用统计量的分布

1.样本均值的分布

定理1如果总体，且（）是来自总体的样本，为该样本的样本均值，则

（1）；

（2）．

注意：当总体时,不论样本容量多大，都有．如果总体不服从正态分布而服从其它某种分布，按照中心极限定理，当样本容量充分大时，样本均值近似地服从正态分布．

定义2如果，对于给定的正数（），满足的点的值，称为标准正态分布的右侧临界值．

标准正态分布的右侧临界值的几何意义：在临界值右侧的面积为，在临界值左侧的面积为，即,．

例如，当时，，查标准正态分布表有，所以.当时，，查标准正态分布表有，所以．

定义3如果，对于给定的正数（），满足的点的值，称为标准正态分布的双侧临界值．

标准正态分布的双侧临界值的几何意义：在临界值点的左右部分的面积为，由右侧临界值定义可得，即．

例如，当时，，查标准正态分布表，所以.当时，，查标准正态分布表有，所以．

【例3】某厂检查钢丝绳的承重能力记为，若已知（单位：公斤）.试问从中随机地抽取20只进行测定，其样本均值低于60公斤的概率有多大？

解已知，，由定理1可得，即，

所以，样本均值低于60公斤的概率为0.036.

2.分布

定义4设总体，（）是来自的一个样本，称

为服从自由度为的分布，记作．

注意：自由度是指上式中所包含的独立变量的个数．

分布的概率密度函数为

分布的概率密度曲线位于第一象限，单峰不对称．其中是函数在处的函数值，这个函数称为函数．

定理2设总体，（）是来自总体的一个样本，则样本均值与样本方差相互独立且统计量．

定义5如果，对于给定的正数（），满足的点的值，称为分布的右侧临界值．

分布的右侧临界值的几何意义：在临界值右侧的面积为，在临界值左侧的面积为，该临界值记作．

例如，当时，查分布表有分布的右侧临界值为；当时，查分布表有分布的右侧临界值为．

定义6如果，对于给定的正数（），满足的点的值，称为分布的双侧临界值．

由图可知，选择分别使得在这两点左右部分的面积各为，查表可得

．

例如，当时，查分布表有分布的双侧临界值为

．

3.分布

定义7若，且与相互独立，则称统计量

为服从自由度为的分布，记作．

分布的概率密度函数为

分布的概率密度曲线位于轴上方，单峰且关于对称，很象标准正态分布的概率密度曲线．实际上可以证明，当充分大时，有，分布的概率密度曲线如图所示．

定义8如果，对于给定正数，满足的点的值，称为分布的右侧临界值．

定义9如果，对于给定正数，满足的点的值，称为分布的双侧临界值．

例如，当时，分布右侧临界值