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古典概型与几何概型辨析

作者：汪云霞

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2013年第02期

苏教版必修3第三章讲了《概率》，包括古典概型与几何概型，这两种概型的共同点是在

随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．可它们又是两种

不同的概型，同学们在解题时常常把这两种概型混淆，导致解题错误．这两种概型的区别到底

在哪儿，我们又该如何区分这两种概型，对这两种概型如何求解？通过本文的分析，希望对同

学们有所启发．

一、古典概型与几何概型的区别

例1（1）在区间［0，10］上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为

_____________；

（2）在区间［0，10］上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为_____________．

分析：本题中，问题1因为总的基本事件是［0，10］内的全部整数，所以基本事件总数

为有限个11，而不大于3的基本事件有4个，此问题属于古典概型，所以所求概率为411．问

题2中，因为总的基本事件是［0，10］内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，此问题

属于几何概型，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间［0，10］长度为10，

而事件“不大于3”对应区间［0，3］长度为3，所以所求概率为310．

小结：1．此题中的两个问题，每个基本事件都是等可能发生的，但是问题1中的总基本

事件是有限个，属于古典概型；而问题2中的总基本事件是无限个，属于几何概型.故在实际

解决问题中，关键要正确区分古典概型与几何概型．

古典概型中基本事件的个数是有限的，事件是可以数出个数的；而几何概型中基本事件是

无限的，事件是不可以数出有多少个的，这是这两种概型的本质区别．

．两种概型的概率2公式．

古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能

的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P（A）=mn；几何概型的概率公式：

（AP）=构成事件A的区域长度（长度或面积或体积或角度等）试验的全部结果所构成的

区域长度（长度或面积或体积或角度等）．

例2判断下列概率问题中哪些属于古典概型哪些属于几何概型：

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（1）从一批产品中抽取30件进行检查，有5件次品，求正品的概率；

（2）随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率．

（3）箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率

为多少？

（4）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻

钟，过时才可离去，求两人能会面的概率．

对比古典概型和几何概型的特点，判断得（1）、（2）属于古典概型；（3）、（4）属于

几何概型．

二、古典概型注意点

．注意1“非等可能”与“等可能”

例3掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率．

错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，…，12}，属于事件A的结果

只有3，故P（A）=111．

分析：公式P（A）=属于事件A的基本事件数基本事件的总数

仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这种情况

（1，1）才出现，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推．

正确答案掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，

1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为

6×6=36．

在这些结果中，事件A的含有两种结果（1，2），（2，1）．

∴P（A）＝236=118．

．注意2“可辩认”与“不可辨认”

例4将n个球等可能地放入到N个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事

件A：“某指定的n个盒子中恰好各有一球的概率”．