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24.4弧长与扇形面积知识梳理与培优训练人教版2024—2025学年九年级上册

一、弧长公式

由于圆周角课看做的圆弧，而的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：

二、多边形滚动问题

解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度．

常见的多边形滚动问题有：

1.正三角形沿水平线翻滚；

2.正方形沿水平线翻滚；

3.各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；

4.各内角不相等的多边形沿水平线翻滚．

三、扇形

扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：

扇形面积的计算公式：

（为扇形的弧长）

【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算．

四、弓形面积的计算方法

1.弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

2.弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算．根据弧的情况不同，有以下三种情况：

当弓形所含的弧是劣弧时，

当弓形所含的弧是优弧时，

当弓形所含的弧是半圆时，

五、圆锥

圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形．这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面．斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面．从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线．

1.圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：

2.圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积．公式为：

【注意】圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆．

3.推论：已知扇形的半径为，圆心角为，扇形围成的圆锥的底面半径为，则可以三者之间的关系为：

【例题讲解】

一、弧长的计算

在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（）．

A．B．C．D．

如果中标的轴心到分针针端的长为5，那么经过40分钟，钟表的分针针端转过的弧长是________．

一条弧的长度为，所对的圆心角为108°，那么这段弧的半径为___________．

如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）．

A．B．C．D．

如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是，如果，那么曲线的长是____________．

二、多边形滚动问题

如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动（不滑动），点从开始到结束，所经过路径的长度为（）．

A．B．C．D．3

如图，在中，，将绕顶点按照顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是（）

A．4B．C．D．

练习：已知：矩形的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点所经过的路线长是______________．

三、扇形、弓形面积的计算

【例8】钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）

A．B．C．D．

【例9】如图，在中，，将绕顶点按顺时针方向旋转45°至的位置，则线段扫过区域（图中的阴影部分）

的面积为？

四、圆锥

如图，一扇形纸片，圆心角为120°，弦的长为，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为____________．

如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是______cm2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．

【例10】如图，的直径弦的平分线交于过点作交延长线于点，连接

（1）由，，围成的曲边三角形的面积是；

（2）求证：是的切线；

（3）求线段的长.

【巩固练习1】如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．

（1）求证：PT2=PA?PB；

（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．

【巩固练习2】如图，△ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC．

（1）求证：BC是O的切线；