23.2中心对称讲义和同步练习人教版2024—2025学年九年级上册.docxVIP

23.2中心对称讲义和同步练习人教版2024—2025学年九年级上册

【知识梳理】

一、中心对称：像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

二、中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。

（2）关于中心对称的两个图形是全等形。

3、作中心对称和图形的一般步骤

（1）确定“代表性的点”；

（2）作出每个代表性的点的对应点；

（3）顺次连结。

三、中心对称图形

1、中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，过对称中心的直线，可以把图形分成完全重合的两部分。

2、中心对称图形的识别

常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26个大写英文字母（7个），正多边等要会识别，并指出对称中心。

3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系

区别：

（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。

（2）研究对象的个数不同，中心对称指两个图形，而中心对称图形只研究一个对象。

（3）中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点，而两个图形关于某点成中心对称，对称中心不定。

联系：

两者均是关于点的对称，它们之间无绝对界限，当把两个图形看作整体时，即为中心对称图形，若把中心对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。

4、中心对称图形和轴对称图形的关系

（1）对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形，对称中心是对称轴的交点；

（2）对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。

（3）轴对称图形是翻转180°与自身重合，而中心对称图形是旋转180°与自身重合。

【例题讲解】

例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．

（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．

例2.如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．

例3.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．

（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．

（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

【能力提升】

倍长中线法

例1：已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围.

例2：已知：如图，RtABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．

例3:(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，ABAC，点D是BC边中点，过D作射线交AB于E，交CA延长线于F，请猜想∠F等于多少度时，BE=CF，并说明理由.

（2）在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他条件不变，若BE=CF的结论仍然成立，请写出△AEF必须满足的条件，并加以证明.

例4：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，∠ADB＝∠ADC，

求证：∠DBC＝∠DCB.

【挑战自我】

1.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，

（1）求点与的距离

（2）求的度数

（3）求的面积．

中心对称同步练习

基础巩固

1.下面的每组数中，两个数字成中心对称的是 ()

ABCD

2．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，有下列说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．其中正确的有 ()

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，则图中关于点O对称的三角形有________对．

4．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称，作出它们的对称中心O.

如图5，在平面直角坐标系中，直角△ABC的三个顶点分别是

A(－3，1)，B(0，3)，C(0，1)．

(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；

(2)分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．

图5

能力提升

6.若点A的坐标为（6