【向量】奔驰定理与四心问题知识精讲与5题型归纳(45页) .pdfVIP

学高为师，身正为范

小姚数学

【知识精讲】

一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二．奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为

112233

xxxyyy

G()

123123

，.

33



注意：（1）在中，若O为重心，则OAOBOC0．

△ABC

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

11

重心的向量表示：AGABAC．

33





SOASOBSOC0



奔驰定理：，则、、的面积之比等于::

△AOB△AOC△BOC



ABC321





奔驰定理证明：如图，令OAOA，OBOB，OCOC，即满足OAOBOC0

111

112131

S1S1S1