湖南省三湘名校教育联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试卷（含答案）.docx

三湘名校教育联盟?2023年下学期高二期中联考

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则

A. B.

C. D.

2.已知复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知双曲线：的焦距为，实轴长为4，则的渐近线方程为

A. B. C. D.

4.已知数列中，，，则等于

A. B. C. D.3

5.已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是

A.无论，，如何，总是无解

B.无论，，如何，总有唯一解

C.存在，，，使是方程组的一组解

D.存在，，，使之有无穷多解

6.已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为

A. B.

C. D.

7.已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是

A. B.

C. D.

8.已知双曲线：，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点.若存在直线使得点为的重心，则的离心率为

A. B. C.2 D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线：和圆：，则

A.直线恒过定点

B.直线与圆相交

C.存在使得直线与直线：平行

D.直线被圆截得的最短弦长为

10.设函数，则下列说法正确的是

A.若的最小正周期为，则

B.若，则的图象关于点对称

C.若在区间上单调递增，则

D.若在区间上恰有2个零点，则

11.已知为抛物线：的焦点，，，是上三点，且，则下列说法正确的是

A.当，，三点共线时，的最小值为4

B.若，设，中点为，则点到轴距离的最小值为6

C.若，为坐标原点，则的面积为

D.当时，点到直线的距离的最大值为

12.已知正方体的棱长为1，为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是

A.平面

B.与平面所成角的取值范围为

C.的最小值为

D.点到直线的距离的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆过点，且与直线相切，则满足要求的面积最小的圆的标准方程为______.

14.已知，则的值为______.

15.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的体积为______.

16.如图，椭圆：和：有相同的焦点，，离心率分别为，，为椭圆的上顶点，，，，三点共线且垂足在椭圆上，则的最大值是______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，存在四点，，，.

（1）求过，，三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系；

（2）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.

18.（本小题满分12分）

长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：

（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.

19.（本小题满分12分）

已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

（1）求角；

（2）若点满足，且，求的面积的最大值.

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点在平面内的投影是的中点，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围；

（3）若函数，求函数的零点个数.

22.（本小题满分12分）

椭圆：的左、右焦点分别为，.过作直线交于，两点.过作垂直于直线的直线交于，两点.直线与相交