3.2空间向量与向量运算（2）课件高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.pptx

§2空间向量与向量运算

根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.

1.了解空间向量夹角的概念及表示方法．2.掌握空间向量数量积的计算方法及应用;3.体会由平面向量的投影向量与投影数量的概念直接推广到空间向量.课标要求1.通过空间向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养．2.通过空间向量数量积的应用，培养数学运算素养.素养要求§2空间向量与向量运算第2课时空间向量的数量积

OAB探究点1两空间向量的夹角

规定:零向量与任意向量垂直.

注:①两个向量的数量积是一个实数，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零.探究点2两个向量的数量积

探究点3空间两个向量的数量积性质

注意：性质①是求两个向量的夹角的依据；性质②是求向量的长度(模)的依据；性质③是证明两向量垂直的依据.

探究点4空间向量的数量积满足的运算律注意：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.

(2)对于向量，成立吗？思考提示:(1)(2)都不一定成立，因为向量相等，需要大小相等，方向相同.

探究点5投影向量与投影数量

图（1）图（2）图（3）

A1B1BA思考：类比平面向量,你能说出a·b的几何意义吗?

数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cosa,b的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cosa,b的乘积(如图)．

练习1.判断正误:(1)量b向量a向上的投影数量等于向量a在向量b方向上的投影数量;(2)和向量(b+c)在向量a方向上的投影数量等于b,c在向量a方向上的投影数量之和.2.对于非零向量a,b,根据下列条件求a,b:(1)cosa,b=1;(2)cosa,b=?1;(3)cosa,b=0;(4)a·b=?|a||b|

DABDCABC第三题ABDCABC第五题

1.两空间向量的夹角的概念.2.两个向量的数量积的概念3.两个向量的数量积的性质.4.空间向量的数量积满足的运算律.5.投影向量与投影数量.

第2课时空间向量的数量积

[目标导航]课标要求1.理解空间向量的夹角,知道空间向量的夹角的范围.2.掌握空间向量数量积公式,并能熟练运用.3.理解投影向量与投影数量,并能求解相关问题

新知导学·素养启迪新知梳理2.规定:零向量与任意向量垂直.

4.向量的数量积满足如下运算律(1)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);(2)a·b=b·a(交换律);(3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).

5.投影向量与投影数量(1)投影向量

教材拓展数量积的性质设a,b都是非零向量,a,b=θ,(1)a∥b时,θ=0或π,θ=0时,a与b同向;θ=π时,a与b反向.(3)θ为锐角时,a·b0,但a·b0时,θ可能为0;θ为钝角时,a·b0,但a·b0时,θ可能为π.(4)|a·b|≤|a||b|,特别地,当θ=0时,a·b=|a||b|,当θ=π时,a·b=?|a||b|.(5)对于实数a,b,c,若ab=ac,a≠0,则b=c;对于向量a,b,c,若a·b=a·c,a≠0,却推不出b=c,只能得出a⊥(b?c).

(6)a·b=0?a=0或b=0;a=0时,一定有a·b=0.(7)不为零的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,但对于三个向量a,b,c,(a·b)c≠a(b·c),因为a·b是一个实数,(a·b)c是与c共线的向量,而a(b·c)是与a共线的向量,a与c不一定共线.

小试身手1.已知a=3p?2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=.?解析:因为p⊥q且|p|=|q|=1,所以a·b=(3p?2q)·(p+q)=3p2+p·q?2q2=3+0?2=1.答案:1

2.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a?b|=.?解析:因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,所以2a·b=46,|a?b|2=a2?2a·b+b2=530?46=484,故|a?b|=22.答案:22

4.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.?

探究点一求投影向量与投影数量课堂探究·素养培育[例1]如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3.

[例1]如图,在长方体ABCD?A1B1C1