2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　6.1　第1课时　导数与函数的单调性.docx

6．1函数的单调性

第1课时导数与函数的单调性

[学习目标]1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．

一、导数与函数单调性的关系

问题1已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？

问题2作出f(x)＝x2的图象，导数与其单调性具有怎样的关系呢？

知识梳理

导数的符号与函数的单调性之间的关系

导数符号

单调性

在某个区间上，________

在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增

在某个区间上，________

在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减

若在某个区间上，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间上，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减．

例1(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()

(2)已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)0的解集为()

A．(－2,0)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－2，－1)∪(1,2)

反思感悟函数的图象与函数的导数关系的判断方法

(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．

(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．

跟踪训练1f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

二、判断或证明函数的单调性

例2利用导数判断下列函数的单调性：

(1)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋2x－5；

(2)f(x)＝x－eq\f(1,x)－lnx(x0)；

(3)f(x)＝x－ex(x0)．

反思感悟利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)0(f′(x)0)在定义域或给定区间上恒成立．一般步骤为：

(1)确定函数的定义域(给定区间除外)．

(2)求导函数f′(x)．

(3)判断f′(x)的符号．

(4)给出单调性结论．

跟踪训练2证明：函数f(x)＝eq\f(lnx,x)在区间(0,2)上单调递增．

三、求函数的单调区间

例3(1)函数f(x)＝lnx－4x＋1的单调递增区间为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B．(0,4)

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))

(2)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为__________________________．

反思感悟利用导数求函数单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)求导函数f′(x)．

(3)由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上单调递增；当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上单调递减．

(4)结合定义域写出单调区间．

跟踪训练3求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．

1.知识清单：

(1)函数的单调性与导数正负的关系．

(2)利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法．

2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化化归．

3．常见误区：

(1)研究函数的单调区间时，忘记求函数的定义域，没有在定义域范围内研究函数的单调区间．

(2)将函数具有相同单调性的区间用“∪”连接．

(3)混淆“函数的单调区间是(a，b)”和“函数在(a，b)上单调”．

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()

2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为()

A．(2，＋∞) B．(－∞，2)

C．(－∞，0) D．(0,2)

3．若函数f(x)＝x2－x－6lnx，则f(x)的单调递增区间为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪(2，＋∞)

B．(0,2)

C．(2，＋∞)

D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))∪(2，＋∞)

4．y＝x＋sinx在[0，π)上单调递______(填“增”或“减”)．