2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　1.1　数列的概念.docx

1.1数列的概念

[学习目标]1.了解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．

一、数列的概念与分类

问题1下面三列数字有什么联系与区别？

(1)1,2,3,4；

(2)4,3,2,1；

(3)3,4,1,2.

知识梳理

1．数列的概念

(1)按一定次序排列的一列数叫作______，数列中的每一个数叫作这个数列的______．

(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列________，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________．

2．数列的分类

根据数列的项数可以将数列分为两类：

(1)有穷数列——项数________的数列．

(2)无穷数列——项数________的数列．

例1下列说法正确的是()

A．数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列

B．数列1,2,3,4,5,6可以表示为{1,2,3,4,5,6}

C．0,2,4,6,8，…，2n是无穷数列

D．1,1,1,1,1，…是一个数列

反思感悟数列概念的三个注意点

(1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．

(2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．

(3)同一个数在数列中可以重复出现．

跟踪训练1下列说法正确的是()

A．－4,5,2，eq\f(1,2)，eq\r(3)不是数列

B．数列{an}的前4项为1,2,3,4，则第5项一定是5

C．－1,1,3,5，…是数列

D．数列0,2,4,6,8，…是有穷数列

二、求数列的通项公式

问题2若数列{an}为1,3,5,7,9，…，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？

知识梳理

数列的通项公式

如果数列{an}的第n项________与______之间的________________可以用一个式子表示成________________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的________________．

例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数：

(1)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…；

(2)2，－eq\f(4,5)，eq\f(1,2)，－eq\f(4,11)，eq\f(2,7)，…；

(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999，…；

(4)2,22,222,2222,22222，….

反思感悟根据数列的前几项求通项公式的解题思路

(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．

(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．

(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．

(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．

跟踪训练2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；

(2)eq\f(22－1,2)，eq\f(32－1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52－1,5)，…；

(3)7,77,777,7777，….

三、数列通项公式的应用

例3已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n＋6,n)，n∈N＋.

(1)求a10；

(2)eq\f(53,50)是不是这个数列中的项？

(3)这个数列中有多少项是整数？

(4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由．

反思感悟通项公式应用的常见题型及其解法

(1)由通项公式写出数列的某项．就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值．

(2)判断一个数是否为该数列中的项．由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项．

跟踪训练3在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．

(1)求{an}的通项公式；

(2)判断88是不是数列{an}中的项？

1.知识清单：

(1)数列及其有关的概念．

(2)数列的分类．

(3)数列的通项公式及应用．

2．方法归纳：观察、归纳、猜想．

3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．

1．下列说法中，正确的是()

A．数列1,3