2024-2025学年上海市松江一中高二上学期期中考试数学试卷含详解.docx

松江一中2024学年度第一学期期中考试卷

高二数学

考生注意：本卷满分150分,考试时间120分钟,答案全部做在答题纸上.

一.填空题（第1至第6题每题4分,第7至第12题每题5分）

1．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为．

2．在正方体中,所在直线与平面所成的角为.

3．若单位向量,满足,则．

4．已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形,如图所示,则四边形的面积是.

??

5．已知所在平面外一点,且二面角,,大小相等,则点在平面内的射影应为的心.

6．一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形,该圆锥母线长为6,则圆锥的底面半径为．

7．已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为5,侧面积为,则圆台的高为.

8．如图,在棱长为的正方体中,点为线段上的动点,则线段的最小值为.

9．如图,在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水,然后,将一个铁球放入这个圆锥形的容器中,若水面恰好和球面相切,则这个球的半径为.

??

10．已知空间向量,,的模长分别为,,,且两两夹角均为,点为的重心,则．

11．已知一个正四面体的棱长为4,则其外接球与以其一个顶点为球心,2为半径的球面所形成的交线的长度为．

12．如图,在棱长为2的正方体中,,分别是棱的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,给出下列四个结论：

??

①当点是中点时,直线平面.

②直线到平面的距离是.

③点到的距离为.

④存在点,使得.

其中所有正确的结论是.

二.选择题（第13,14题每题4分,第15,16题每题5分）

13．若直线不垂直于平面,那么平面内（????）

A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线

C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对

14．已知,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,下列命题正确的是（????）

A．若,,则.

B．若,,则.

C．若,是异面直线,,,,,则.

D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等,则．

15．已知圆锥的母线长为4,过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8,则该圆锥底面半径的取值集合为（????）

A． B． C．0,4 D．

16．设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题,则（????）.

①若是平行四边形,但不是菱形,则可能是菱形.

②若不是平行四边形,则可能是平行四边形.

A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假

三.简答题（14+14+14+18+18）

17．如图,在长方体中,,,.

??

(1)求证：.

(2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥,求剩下的多面体的体积.

18．如图,在正四棱锥中,,.

??

(1)求四棱锥的表面积.

(2)求二面角的大小.（结果用反三角表示）

19．陀螺是中国民间的娱乐工具之一,早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球,其中圆柱的两个底面为球的两个截面,圆锥的顶点在该球的球面上.

??

(1)若圆柱的高为,求该陀螺的体积及表面积.

(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高,要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？

20．如图,已知四边形是矩形,平面,且,M?N是线段?上的点,满足.

(1)若,求证：直线平面.

(2)是否存在实数,使直线同时垂直于直线,直线？如果有请求出的值,否则请说明理由.

(3)若,求直线与直线所成角的最大值.

21．如图,在四棱锥中,已知平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,,,.

(1)证明：.

(2)线段CP上是否存在一点M,使得直线AM垂直平面PCD,若存在,求出线段AM的长,若不存在,说明理由.

(3)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

1．

【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果.

【详解】由题意可知：直线在平面内.

所以符号语言为：.

故答案为：.

2．

【分析】由正方体的结构特征有所在直线与平面所成角为,即可求其大小.

【详解】由题设知,面,所以所在直线与平面所成角为.

设正方体棱长为2,则,则.

故答案为：

3．

【分析】依题意可得,根据及数量积的运算律计算可得.

【详解】因为单位向量,满足.

所以.

所以

.

故答案为：

4．

【分析】画出四边形的原图形,进而求出面积.

【详解】连接,则与平行,且有勾股定理得.

??

故画出四边形的原图形,如下：

??

四边形为平行四边形,高.

故四边形的面积是.

故答案为：

5．内

【分析】若面,且,连接,利用线面垂直的判定,性质定理证,,结合题设二面角