第九章 第五节.ppt

第五节空间直角坐标系、空间向量及其运算

必备知识·自我排查

考点突破·典例探究

必备知识·自我排查

【基础知识梳理】

1．空间直角坐标系与点的坐标

(1)空间一点M的坐标可以用有序实数组_(_x_，__y_，__z_)_表示．

(2)建立了空间直角坐标系，空间中的点M与有序实数组(x，y，z)可以建立

_一__一__对__应__的关系.

2．空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式：

（xx）2（yy）2（zz）2

①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____1___2_____1____2_____1___2__；

②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝__x_2___y_2__z_2_．

(2)中点公式：

xx

x12，

设点P(x，y，z)为P(x，y，z)，P(x，y，z)的中点，则2

11112222

yy

y12，

2

zz

z12.

________2____

3．空间向量中的特殊向量

名称概念

零向量模为_0_的向量

单位向量长度(模)为_1_的向量

相等向量方向__相__同_且模_相__等__的向量

相反向量方向__相__反_且模_相__等__的向量

表示空间向量的有向线段所在的直线

共线向量

互相_平__行__或__重__合__的向量

共面向量平行于同一个_平__面__的向量

【微思考】

“空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？

提示：正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向

量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．

4．空间向量中的有关定理

语言描述

共线向量对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，

定理使a＝λb.

共面向量若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔

定理存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

空间向量如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，

基本定理存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

5．空间向量的数量积

(1)两向量的夹角的两个关注点



①共起点的向量OA＝a，OB＝b，则_∠__A_O_B__叫做向量a，b的夹角．

②范围：0≤〈a，b〉≤π

(2)两个非零向量a，b的数量积：

a·b＝_|_a_|_|_b_|_c_o_s_〈__a_，__b_〉_．

6．空间向量的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

【微提示】

向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c

成立，但不满足结合律，即(a·b)·c