应力张量应变张量课件.pptxVIP

应力张量应变张量;在给定载荷作用下，物体内的任意斜截面上应力（应变）的大小和方向是确定的，即一点的应力状态是确定的。不随所取坐标系的不同而变化。;一点的应力（应变）状态是用6个应力（应变）分量来定义，而应力（应变）分量是在一定的坐标系下确定的，且随坐标系的不同的变化。

本章重点是讨论坐标变换时应力分量和应变分量的变化规律。;§5-1应力分量的坐标变换应力张量;考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其单位矢量为e1、e2、e3，相应的应力分量为;新旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为;作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为T。T在旧坐标系下的三个分量为T1，T2和T3，则;在新坐标系下，T在新坐标轴上的三个分量即为新系下该斜面上的三个应力分量。;可见：应力分量在经坐标变换后，仍保持其对称性;统一的变换式;§5-2主应力与应力张量不变量;;当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。;将行列式展开，得到求解主应力的三次方程，称为应力张量的特征方程。;设特征方程的三个根为，则;主应力的重要性质;3.主应力的极值性；

（1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值；

设：，则

（2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力T的最大（或最小）值。

;§5-3最大剪应力;由;（1）当;;设;（2）两主应力相等，设;表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。;（3）三个主应力相等;§5-4应力张量的分解;引入平均应力;简写为;球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。;应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。

用表示。;§3-5物体内无限相邻两点的位置变化

转动张量;一.单元的转动;单元e有变形时，由相邻单元的变形引起的单元e的方位变化;上式为绕oz轴的转动，令;几何方程;简记为;为对作标的一阶偏导数，为二阶张量，称为相对位移张量。;相邻两点P，Q间的位移变化量（即相对位移）;展开为;§3-6应变的坐标变换应变张量;一.微线元dr的相对伸长（正应变）;微线元dr的分量;变形后的线元dr’长度;设线元dr的相对伸长，即线应变为;将上式展开，并运用几何方程，有;二.两微线元夹角的变化;线元;变形后两线元矢量分别为;线元的方向余弦;同理;变形前、后线元夹角余弦：;初始两线元垂直，小变形条件下;三.任意3个正交线元的线应变和剪应变;已知任一线元的正应变公式;由两正交线元直角的变化（剪应变）公式;应变分量的坐标变换统一表达式;§3-7主应变应变张量不变量;方向余弦为（l，m，n）的线元dr，变形后为dr’，相应的方向余弦为（l’，m’，n’）。;上式与求主应力方向的方程相似，故有非零解的条件是：;可见：第一应变不变量就是体积应变！;由于应变张量为二阶张量，主应变有与主应力相同的性质。;END