九年级数学二次函数重要知识点总结小周数学.docxVIP

二次函数笔记

知识点一、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果y=ax2＋bx+c（a，b，c是常数，a=0），特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。

y=ax2＋bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x=?

抛物线的主要特征∶

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

（重要）y=ax2（a≠

a0开口向上a0开口向下

（注：二次函数图像只有两类，要么开口向上，要么开口向下）

顶点坐标;原点（0,0）对称轴:y轴也叫作直线x=0

温馨提示：当

温馨提示：当a0图像开口向上时，顶点处于函数图像的最下方，是整个图像的最低点当a0开口向下时，顶点处于函数图像的最上方，是整个图像的最高点。高低上下与纵坐标有关，最低就意味着纵坐标小，反之就大!所以我们说的函数的最值就是y的最值也就是顶点纵坐标！所以顶点纵坐标就代表函数最值！（重要）

当a0图像开口向上时y有最小值

当a0开口向下时y有最大值

例题：若一个二次函数的解析式是y=2（x+3）2+2

解：由解析式可知a=2是大于0的所以图像开口向上，y有最小值！

由解析式可知顶点坐标是（-3,2）所以函数y最小值就是2！

（非常重要）

平移规律：左加右减自变量（x变化）

上加下减常数项

例题将二次函数y=2x2

向左3（左加）向上2个（上加）

向左3（左加）

向上2个（上加）

y=2x2y=2x2+2y=2（x+3）2

顶点：（0,0）（0,2）（-3,2）

对称轴x=0不变化直线x=-3

4将一般式化成顶点式

超级重要

超级重要

化顶点式步骤：首先二次项系数化为1（提公因式法提取a）

其次配方在括号里配一次项系数的一半的平方（它的一半写在括号里）切记加一个再减一个！

最后减的那部分再乘以括号前的数也就是a再乘出来

例题求二次函数y=2x2+4x+6

方法一：y=2x2

y=2（x2+2x）+6先提二次项系数a

Y=2（x2+2x+1-1）+6括号里一次项系数是2一半是1再平方是1

Y=2（x2+2x+1）-2+6减的部分再乘出来

一半是1，最后括号里就是1Y=2(x+1)

一半是1，

最后括号里就是1

所以顶点坐标;(-1,4)对称轴：x=-1

方法二：将a=2b=4c=6代入顶点坐标公式直接求解顶点坐标！

左减

左减

右增

左增右减

左增

右减

5函数图像与坐标轴的交点

与y轴交点--交点在y轴上，则其横坐标x=0--将x=0代入二次函数解析式y=ax2＋bx+c中求纵坐标--此时y=c。所以抛物线与y轴的交点坐标用（0，c）来表示！

可知：当c＞0时交点在y轴正半轴

当c＜0时交点在y轴负半轴

与x轴交点交点在x轴上，则交点纵坐标y=0将纵坐标y=0代入二次函数解析式y=ax2＋bx+c中求横坐标

代入后可得ax2＋bx+c=0（变成了一元二次方程）

所以此时方程的解就是交点的横坐标

可知x=?b+

我们知道一元二次方程的解可能有一个，两个或0个，所以抛物线与x轴也可能有0个，1个或2个交点。而一元二次方程根的数量情况是由根的判别式决定的，所以就会有：非常重要

非常重要

若抛物线与x轴有两个交点A（?b+b2?4ac2a，0）和B（

则俩交点之间的距离AB=?b+b

所以AB=b2?4ac

6abc对函数图像的影响

7抛物线的对称性

抛物线是轴对称图形，有对称轴x=?b

若抛物线上有两点A（m，y）和B（n，y）是一组对称点，则这两点的轴坐标一样。反而言之，若抛物线上有两点纵坐标一样，则它们是一组对称点，到对称轴的距离相等。则此时x对称轴=m+n

8根据点到对称轴的距离来判断函