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连续体力学

§5.1弹性体的应力和应变弹性体——若物体所受外力撤消后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失，则这种形变叫弹性形变，这种物体叫“弹性体”。弹性体是—种理想模型。弹性体形变分类：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲。最基本的形变：拉伸压缩、剪切形变，弯曲和扭转可看作是由前两种形变组成的．

§5.1弹性体的应力和应变5.1.1弹性体的拉伸和压缩1、外力、内力与应力假想截面外法线方向n。正应力(假想截面S上的拉伸或压缩应力)：σ=Fn/SS:横截面积，Fn:内力在n上的投影，拉伸应力：与外法线同向,σ0；压缩应力：与外法线反向,σ0。国际制中应力的单位为叫N/m2，称为“帕斯卡”，可简称“帕”．国际符号为“Pa”．

外力外力外力拉伸应力拉伸应力外力外力外力压缩应力压缩应力外力外力外法线n假想截面

§5.1弹性体的应力和应变5.1.1弹性体的拉伸和压缩2、直杆的线应变绝对伸长△l0;绝对压缩△l0相对伸长(或压缩)，又叫线应变：ε=△l/lo拉伸形变:ε0;压缩形变:ε0横向相对形变或应变为：ε横=△b/bo实验证明，│ε横│比│ε│小3—4倍.bolo

§5.1弹性体的应力和应变5.1.1弹性体的拉伸和压缩3、胡克定律对于有拉伸压缩形变的弹性体，当应变较小时，应变与应力成正比：σ＝Yε因σ=Fn/S，ε=△l/lo，故胡克定律可表示为：Fn/S=Y△l/lo式中Y称为杨氏模量。一般说来，拉伸和压缩的杨氏模量相差不多，可认为两者相同。若应力超过某限度，撤消外力后，应力回到零，但有剩余应变，称塑性应变。

§5.1弹性体的应力和应变5.1.1弹性体的拉伸和压缩4、拉伸和压缩的形变势能反抗形变的弹性力是保守力，形变弹性体具有弹性势能．弹性势能等于自势能零点开始外力做功的正值，即．（略去形变过程中横截面积S的变化）弹性势能密度：

§5.1弹性体的应力和应变5.1.2弹性体的剪切形变1、剪切形变·剪切应力与应变剪切形变：当物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动．设力F在该面上均匀分布，则剪应力为τ=F/S

1、剪切形变·剪切应力与应变力偶：F=-F’，F’’=-F’’’剪切应力：ττ’5.1.2弹性体的剪切形变力偶矩的平衡条件：(τac)b=(τ’bc)a→τ=τ’FF’’F’’’F’abc

1、剪切形变·剪切应力与应变剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的剪切应力是相等的．5.1.2弹性体的剪切形变剪切应变：平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比．tgψ=bb’/ab若变形很小，故剪切应变可用切变角表示:ψ=bb’/abFF’’F’’’F’bb’adc’cψ

§5.1弹性体的应力和应变5.1.2弹性体的剪切形变2、剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比，即：τ＝Nψ，式中N为为剪切模量。Y、N和泊松系数μ之间的关系：N=Y/2(1+μ)单位体积剪切形变的弹性势能:

§5.1弹性体的应力和应变5.1.3弯曲和扭转1、梁的弯曲：是由程度不同的拉伸压缩形变组成的．弹性体变形的分布是连续的，因而处于中间的CC’层必将既不伸长也不压缩，叫作中性层。

§5.1弹性体的应力和应变5.1.3弯曲和扭转1、梁的弯曲用中性层的半径R或曲率K可以描述纯弯曲形变，可以证明对矩形截面梁在力偶作用下的弯曲，其关系式为：K=1/R=12τ/Ybh3τ为加于梁的力偶矩，Y为材料的杨氏模量，b为梁的宽度，h为梁的高度。此式可知，梁的宽度增加一倍，中性层曲率也减小一倍，但若梁的高度增加一倍，则中性层曲率将减少八倍，可见，增加梁的高度将大大有利于提高梁的抗弯能力．

§5.1弹性体的应力和应变5.1.3弯曲和扭转