经济应用数学电子教案 2.1矩阵的概念及运算.docVIP

经济应用数学

课题

矩阵的概念及运算（2学时）

时间

年月日

教学

目标

1.理解矩阵的概念。

2.了解一些特殊矩阵及性质。

3.掌握矩阵的线性运算、乘法。

重点

矩阵的概念、矩阵的乘法。

难点

矩阵的乘法。

教学

方法

手段

讲授为主，数形结合。

主要

内容

时间

分配

引例5分钟

矩阵的概念

1.矩阵的概念10分钟

2.特殊矩阵10分钟

例15分钟

矩阵的运算

1.矩阵的加法10分钟

2.数乘矩阵10分钟

3.矩阵的乘法10分钟

例2-415分钟

练习10分钟

小结5分钟

作业

备注

【引例】

1.线性方程组

，

把方程组中未知数的系数和常数项按原来的行列次序排成一张矩形数表，

那么方程组就完全由这张矩形数表所确定.

2.某企业有甲、乙、丙三种产品，各季度的产品销售量如表所示.

季

季

度

销

售

量

产

品

一二三四

甲

乙

丙

20756239

45567768

76497959

上述销售量完全由以下矩形数表

所确定.

【主要内容】

一、矩阵

1.矩阵

定义1由个数排成的一个行、列的矩形数表

称为行列矩阵，简称矩阵,记作或．

其中,（叫做矩阵的第行第列元素．矩阵常用大写字母表示，行列矩阵也记作．

2.几种特殊矩阵

（1）零矩阵

所有元素都是的矩阵称为零矩阵，记作或．

.

（2）行矩阵、列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵,记作．

只有一列的矩阵称为列矩阵,记作.

（3）阶方阵

矩阵称为阶方阵或阶矩阵.

①＝是一个阶方阵，元素称为主对角线上的元素．

②主对角线以下元素全为0的方阵称为上三角形矩阵.记作

.

③主对角线以上元素全为0的方阵称为下三角形矩阵.记作

上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵．

④除了主对角线上的元素以外，其余元素全为零的方阵称为阶对角矩阵，记作

.

⑤主对角线上的元素全为1的对角矩阵,称为阶单位矩阵，记作，即

.

3.矩阵的相等

定义2设矩阵与，如果满足：

（1），；

（2），.

则称矩阵与相等，记作.

【例1】设，，如果，求,,,．

解由，有,则.

二、矩阵的运算

1.矩阵的加法

定义3设，都是矩阵，称由与的对应元素相加得到的矩阵为矩阵与的和，记作

.

其中,.

【例2】设，，求.

解.

注意:只有行数相同列数也相同的两个矩阵才能进行加法运算.

矩阵加法满足下列运算律:

（1）交换律：；

（2）结合律：；

（3）存在零矩阵：对任何矩阵，有；

（4）存在负矩阵：对任何矩阵，存在矩阵，使.

2.数乘矩阵

定义4用数乘以矩阵的所有元素所得到的新矩阵，称为的数乘矩阵，记作，即

．

由数乘矩阵的定义，我们可以定义矩阵的负矩阵为，记为，即

．

从而可以定义两个矩阵的减法运算.

设，，那么

.

数乘矩阵满足下列运算律：

（1）；

（2）；

（3）；

（4），.

【例3】已知，．若，求矩阵．

解由得，从而

3.矩阵的乘法

定义5设矩阵，，称矩阵为矩阵与的乘积，记作

.

其中，.

注意:

（1）只有当矩阵的列数等于矩阵的行数时，才有意义；

（2）矩阵的行数等于的行数，列数等于矩阵的列数.

【例4】设，求．

解.

由于矩阵有2列，矩阵有3行，的列数的行数，所以无意义.

【例5】设，，求与.

解,

.

由例5可知,矩阵的乘法不满足交换律，即.即使矩阵，但可能，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.也就是说，不一定有或．

【例6】已知，，，求与．

解,

.

由例6可知，矩阵乘法不满足消去律，由，当时，不一定有，一般不能在等式两端都消去矩阵.

矩阵乘法满足以下运算律：

（1）结合律；

（2）分配律；

；

（3）（为常数）.

【例7】设有两家超市出售3种洗衣粉，某日销售量和每种洗衣粉的单