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学必求其心得，业必贵于专精
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庖丁巧解牛
知识·巧学
一、正射影
点A是平面α外一点，过点A向平面α作垂线，设垂足为点A′，那么把点A′称作点A在平面α上的正射影。一个图形F上的各点在平面α上的正射影也组成了一个图形F′，则图形F′称作图形F在平面α上的正射影。图3—1（2)—2就是正射影的几个例子。
图3—1(2）-2
联想发散
一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关,如一条直线，当它和平面α垂直时，它在平面α上的射影是一个点；当它和平面α斜交时,它在平面α上的射影是一条直线;它和平面α平行时，它在平面α上的射影是一条与原直线平行的直线。
二、平行射影
设直线l与平面α相交，把直线l的方向称为投影方向，过点A作平行于l的直线，与平面α交于点A′，那么把点A′称作点A沿直线l的方向在平面α上的平行射影。一个图形F上的各点在平面α上的平行射影也组成了一个图形F′，则图形F′称作图形F在平面α上的平行射影。于是正射影是平行射影的特例。在立体几何部分,我们对此已经有了了解，如图3-1(2)-3就是平行射影的具体实例.
图3—1（2）—3
知识拓展
平行射影的性质：
(1）直线或线段的平行射影仍是直线或线段;
(2）平行直线的平行射影是平行或重合的直线；
(3）平行于投射面的线段，它的射影与这条线段平行且等长；
（4)与投射面平行的平面图形,它的射影与这个图形全等；
(5）在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.
三、椭圆
平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。运输油制品的油罐、圆柱型容器倾斜后所盛液体的液面等,都给我们以椭圆的形象.
四、椭圆的组成元素
1.如图3-1(2）—4,F1、F2叫椭圆的焦点，F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴，通常用字母a表示;CD叫椭圆的短轴，通常用字母b表示；如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距为2c=。这一个式子反映了椭圆的长轴、短轴及焦距三者之间的关系，我们可以利用这一关系式进行相关的运算.
图3—1（2)-4
2。椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的对称图形.因此,画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出.
五、椭圆的性质
如图3—1（2）5，椭圆上任意一点到焦点F的距离和它到直线l的距离之比为定值，根据这一点，我们有椭圆的第二定义:平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=（0e1）时，这个点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，显然在另一侧对应另一个焦点还有一条准线,常数e是椭圆的离心率。
图3-1(2）-5
关键词分析e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比。当e越接近于1时,c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆.当e=0时，c=0，a=b，两焦点重合，图形就是圆了。可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。
问题·探究
问题1一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影是和原来的圆相同的圆，
当圆所在的平面β与平面α不平行时，该圆在平面α上的正射影会是什么图形?如果β与α垂直,该圆在平面α上的正射影又会是什么图形？
思路:借助于生活经验来理解。
探究：一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆.如果圆所在的平面β与平面α不平行，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等，但它也有一个特征，就是它到两个定点的距离相等，下一节还会讲到。如果圆所在的平面β与平面α是互相垂直的，那么该圆在平面α上的射影是一条线段。
问题2两条相交直线的平行射影还是相交直线吗?如果不相交，那它的形状是什么样子?同理,两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些?
思路:根据两条直线与投射线的位置关系分类讨论。
探究：两条直线相交，可以确定一个平面，当投射线与两直线所确定的平面平行时,此两直线的平行投影是一条直线；当投射线与两直线确定的平面不平行时,此两直线的平行投影仍是两条相交直线，在考虑时一定要周全，避免漏掉特殊情况.所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.同理，可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影，当两条平行线与投射线平行时，它们的平行射影是两个点；当两条直线确定的平面与投射线平行时,它们的平行射影是一条直线；当两条直线确定的平面与投射线不平行时,它们的平行射影是两条平行直线.
典题·热题
例1Rt△ABC的斜边BC在平面
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