数学素材：教材梳理第一讲三相似三角形的判定及性质.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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庖丁巧解牛

知识·巧学

一、三角形相似的预备定理

在初中，我们已经学过相似三角形的知识，其定义是如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对于三角形相似，其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数）.利用上一节所学的平行线分线段成比例定理,可得预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形和原三角形相似。其原理如下:如图1—3-2，△ABC中，DE∥BC,则由平行线分线段成比例定理，有，而由DE∥BC，易得∠D=∠B，∠E=∠C，又∠A是公共角，所以△ABC与△ADE具备相似的条件，即△ABC中，若DE∥BC，则△ABC∽△ADE.

图1

二、相似三角形的判定方法

判定两个三角形相似的方法有：

(1)定义法，即对应边成比例,对应角相等的三角形是相似三角形。当然有了判定定理后，就不用定义判定了，这是因为定义中的条件太多，实际上并不需要.

（2)平行法，即平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理,即①判定定理1:两角对应相等，两三角形相似；②判定定理2：两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似;③判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。

方法点拨在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似。因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角.在连续两次证明相似时，在第二次使用判定定理2的情况较多.

辨析比较对于直角三角形相似的判定,除以上方法外，还有其他特殊的方法:

(1）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似；

（2）如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；

（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用.

三、相似三角形的性质

如果两个三角形相似,那么它们的形状相同，只在大小上有所区别，这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系，分别是:（1)相似三角形对应角相等,对应边成比例;（2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3)相似三角形的周长比等于相似比；（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5）相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.

问题·探究

问题在初中，我们已经学过全等三角形，两个全等三角形的大小、形状是完全一样的，相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形,显然,当两个相似三角形的相似比为1的时候，相似三角形就成了全等三角形，那么,这两者之间有哪些联系和差别呢？

思路：鉴于相似三角形和全等三角形的类似点，在学习相似三角形的性质时,可以类比全等三角形的性质来研究.

探究:用表格的形式对两者作比较:

全等三角形

相似三角形

1

对应边相等

对应边成比例

2

对应角相等

对应角相等

3

对应中线相等

对应中线的比等于相似比

4

对应角平分线相等

对应角平分线的比等于相似比

5

对应高相等

对应高的比等于相似比

6

周长相等

周长比等于相似比

7

面积相等

面积比等于相似比的平方

从两者的对比中可以发现,当两个相似三角形的相似比为1时，二者完全相同，所以我们研究相似三角形的性质的时候,切记从相似比入手即可，涉及到线段的比均等于相似比,只有面积的比是相似比的平方。

典题·热题

例1如图1-

图1

A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACD

C。△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC

思路分析：本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项。

答案:C

深化升华判定三角形相似，首先考虑两角对应相等,特别是当图形中只有角的关系时，常常通过角的转换实现角的相等关系，还应该多注意公共角这一隐含条件的使用.

例2如图1-3-4所示，已知D是△ABC中AB边上的一点，DE∥BC且交AC于E，EF∥AB且交BC于F，且S

图1

A.2B.4C

思路分析：由题易得△ADE∽△EFC，S△ADE∶S△EFC=1∶4，

∴AE∶EC＝1∶2,AE∶AC＝1∶3。

∴S△ADE∶S△ABC=1∶9。∴SBFED=5。

答案:C

例3如图1—3-

图1

思路分析:有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的