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§2一阶偏微分方程

柯西-柯娃列夫斯卡娅定理

[一阶偏微分方程的通解]一阶偏微分方程的一般形式?

?在有些书中写作

或

，其中

如解出p1，可得：

p1=f(x1,x2,…,xn,u,p2,…,pn)

当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.

在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.

[一阶方程的柯西问题]

称为柯西问题，式中为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.

[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理]设f(x1,x2xn,u,p2pn)在点(x10,x20xn0,u0,p20pn0)的某一邻域内解析，而在点(x20xn0)的某邻域内解析，则柯西问题在点(x10xn0)的某一邻域内存在着惟一的解析解.

这个定理应用的局限性较大，因它要求f及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.

对高阶方程也有类似定理.

一阶线性方程

1． 一阶齐次线性方程

[特征方程?特征曲线?初积分(首次积分)]给定一阶齐次线性方程

(1)

式中ai为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组

(i=1,2n)

或

(2)

称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l:xi=xi(t)(i=1,2n)满足特征方程(2)，就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.

如果函数symbol121\fSymbol\s12(x1,x2xn)在特征曲线上等于常数，即

symbol121\fSymbol\s12(x1(t),x2(t)xn(t))=c

就称函数symbol121\fSymbol\s12(x1,x2xn)为特征方程(2)的初积分(首次积分).

[齐次方程的通解]

1o连续可微函数u=symbol121\fSymbol\s12(x1,x2xn)是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是：symbol121\fSymbol\s12(x1,x2xn)是这个方程的特征方程的初积分.

2o设symbol121\fSymbol\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D内的每一点，矩阵

的秩为n)，则

u=symbol119\fSymbol\s12(symbol121\fSymbol\s121(x1,x2xn)symbol121\fSymbol\s12n-1(x1,x2xn))

是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中symbol119\fSymbol\s12为n个变量的任意连续可微函数.

[柯西问题]考虑方程的柯西问题

式中symbol106\fSymbol\s12(x2xn)为已知的连续可微函数.

设symbol121\fSymbol\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)为特征方程的任意n个相互独立的初积分，引入参变量()，从方程组

解出x2xn得

则柯西问题的解为

u=symbol106\fSymbol\s12(symbol119\fSymbol\s122(symbol121\fSymbol\s121,symbol121\fSymbol\s122symbol121\fSymbol\s12n-1)symbol119\fSymbol\s12n(symbol121\fSymbol\s121,symbol121\fSymbol\s122symbol121\fSymbol\s12n-1))

2． 非齐次线性方程

它的求解方法与拟线性方程相同.

一阶拟线性方程

一阶拟线性方程为

其中ai及R为x1,x2xn,u的连续可微函数且不同时为零.

[一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]

或

为原