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24.2.2直线和圆的位置关系知识梳理及培优训练人教版2024—2025学年九年级上册

【知识梳理】

一、设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下：

位置关系

图形

定义

性质及判定

相离

_

_

l

_

O

_

d

_

r

直线与圆没有公共点．

直线与相离

相切

_

_

l

_

O

_

d

_

r

直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．

直线与相切

相交

_

_

l

_

O

_

d

_

r

直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．

直线与相交

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

直线和圆的位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

圆心到直线的距离与半径的关系

公共点名称

交点

切点

无

直线名称

割线

切线

无

二、切线的性质及判定

1．切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．切线的判定：

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【例题讲解】

例1.已知：如图所示，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？

①R=2cm；

②R=2.5cm；

③R=4cm

例2.如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若，则______．

例3.如图，直线与相切于点，的半径为，若，则的长为()

A． B． C． D．

练习：如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线．

例4.如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半径为2，则的长为（）

A． B． C．2 D．4

三、切线的证明

例1.如图，以等腰中的腰为直径作⊙，交底边于点．过点作，垂足为．

求证：为⊙的切线；

课堂练习

1.如图，是⊙O的直径，⊙O交的中点于，，E是垂足.

求证：是⊙O的切线；

2.四边形ABCD内接于，BD是的直径，于E，DA平分.

（1）求证：AE是的切线；

（2）若

巩固提高

1.如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC＝，D是线段BC的中点。

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证直线DE是⊙O的切线。

2.如图△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，

DC的延长线与AB的延长线交于点P.

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.

3.如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G.

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）求AD的长.

4.如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．

(1)求证：BD平分∠ABH；

(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．

5.如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．

（1）求证：BF是⊙O的切线．

（2）若AD=8cm，求BE的长．

（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．