专题06 立体几何中的图形变换(解析版)-2020-2021学年高中数学之立体几何.pdfVIP

立体几何中的图形变换

立体几何的研究对象是空间几何体，它是平面图形的延伸和拓展。在研究空间几何问题时，经常要进

行一些图形变换，如展开、折叠、割补、还原等变换。现结合实例说明如下：

1.折叠

将平面图形按照一定的要求进行折叠，得到空间几何体，进而研究几何体的性质或计算是一种常见的

题型。解决这类问题的关键是要分清折叠前后的位置关系和数量关系的变与不变。

例1.BDa

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得，则三棱锥D-ABC的体积为（）

a3a33a32a3

A.B.C.D.

6121212

2

解析：先做出图形，如图所示。线段DE和BE在折叠前后的长度不变，都为a，又

2

BDa，故由勾股定理可知DEB900.折叠前与AC垂直的线段BD虽被折成两段，但每段与AC的垂

直关系并未改变，即DEAC.易知DE为三棱锥的高，从而三棱锥的体积

1a222a3

Va。故答案为D.

32212

点评：本题并未给出图形，要求通过“读题”去“想图”和“画图”。因此，解题的关键是正确地画出折

叠后图形的直观图。

变式.已知ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD2，将ABC沿AD折成60的二面角，

连结BC，则三棱锥CABD的体积为__________.

23

解析：AD为三棱锥CABD的高，BDC为二面角平面角，即BDC60,BCAD2,

3

1323

CABD2

所以三棱锥的体积为22

343

2.展开

将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本的、常用的方法。将空间图形展开

成平面图形后，弄清几何体中有关点线在展开图中的相应的位置关系是解题的关键。

例2.圆锥的底面半径为r,母线长为6r,M是底面圆周上一点，从M拉一根绳子，环绕圆锥的侧面再回到

M,最短绳长为（）

A.4rB.5rC.6rD.3r

解析：圆锥的侧面展开图为扇形，最短绳长为线段MM的长。扇形的半径SM为圆锥的母线长6r,弧MM



2r



的长为圆锥的底面周长2r，圆心角MSM。故MMSM6r。答案为C。

6r3

M

M

S

点评：常用展开图求两点间的最短距离。

变式．在长方体ABCD-ABCD中，AD=AA=1，AB1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬