2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　§5　简单复合函数的求导法则.docx

[学习目标]1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数)．

一、复合函数的概念

问题1函数y＝(3x＋2)2是由哪些函数复合成的？

知识梳理

复合函数

一般地，对于两个函数________________和________________________，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数________和________的复合函数，记作________________，其中u为中间变量．

例1函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是()

A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sinx

C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin(2x－1)

反思感悟判断复合函数的复合关系的一般方法

从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系．这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数．

跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数()

A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq\f(1,x)

C．y＝2lnx D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))

二、求复合函数的导数

问题2你能分别求出y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数吗？

问题3问题2中导数有何关系？

知识梳理

复合函数的求导法则

复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝________________________.

例2求下列函数的导数：

(1)y＝(4－3x)2；

(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；

(3)y＝ln(4x－1)；

(4)y＝e3x＋2.

延伸探究求函数y＝eq\r(4,\f(1,3x＋1))的导数．

反思感悟求复合函数的导数的步骤

跟踪训练2求下列函数的导数：

(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；

(2)y＝5log2(1－x)；

(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).

三、复合函数的导数的应用

例3(1)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝eq\r(10t)，则在t＝40min时的降雨强度为()

A．20mm B．400mm

C.eq\f(1,2)mm/min D.eq\f(1,4)mm/min

(2)曲线y＝f(x)＝esinx在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________．

反思感悟复合函数应用问题的注意点

(1)正确求导是关键．

(2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．

(3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．

跟踪训练3(1)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是______________．

(2)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________．

1.知识清单：

(1)复合函数的概念．

(2)复合函数的求导法则．

(3)复合函数的导数的应用．

2.方法归纳：转化法．

3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．

1．(多选)下列哪些函数是复合函数()

A．y＝xlnx B．y＝(3x＋6)2

C．y＝esinx D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))

2．已知f(x)＝sin2x＋e2x，则f′(x)等于()

A．2cos2x＋2e2x B．cos2x＋e2x

C．2sin2x＋2e2x D．sin2x＋e2x

3．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________.

4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.