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人教版高中数学必修三第三章概率§1.4古典概型
(ClassicalProbability)
§1.4古典概型(ClassicalProbability)
一、排列与组合公式的复习
1.两大计数原理:乘法原理,加法原理(简单介绍)。
2.排列、组合的定义及计算公式
(1)排列:())(),1()2)(1(!
!nrrnnnnrnnArn≤+=-=,特例,全排列!nAnn=。
(2)组合:)(,!)1()2)(1(!nrrrnnnnrArnCrnrn
≤+==??????=特例,1,0==-nrnnrnCCC。
3.从n个不同的球中摸取r个球,
(1)有放回计序(重复排列):r
n种取法;
(2)无放回种取法;不计序(组合):种取法;计序(排
列):rnrnCA二、古典概型(等可能概型)(Classicalprobability)
1.古典概型“概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最
简单、最直观的概率模型。它具有下述特征:
(1)样本空间的元素(基本事件)只有有限个,不妨设为n个,
记为{}neeeS,,,21=;
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有{}{}{})()()(21ne
PePeP===。
称这种数学模型为古典概型(Classicalprobability)或等可能概型。
它在概率论中具有非常重要的地位,一方面它比较简单,既直观,
又容易理解,另一方面它概括了许多实际内容,有很广泛的应用。
2.等可能概型中事件概率的计算:设在古典概型中,试验E共有
n个基本事件,事件A包含了k个基本事件,则事件A的概率为
基本事件总数
的有利事件数中的基本事件总数中所含的基本事件数ASAnkA
P===)(.(A中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A的有利事件数),
不难验证,上述的概率)(?P的确具有非负性、规范性和有限可加性.)
(【注】讲课时可以简单证明这个公式)
求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作:
一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题
所及的试验,具有以下两个基本特征:(1)试验的样本空间的元素只有有
限个;(2)试验中每个样本点出现的可能性相同.那么,我们就可断定它是
一个古典概率问题.
二是掌握古典概率的计算公式.如果样本空间包含的样本点的总
数为n,事件A包含的样本点数(即A的有利场合的数目)为k,那么
事件A的概率是P(A)=nk=样本点总数包含的样本点数事件A=样本
点总数
的有利场合数A.三是根据公式要求,确定n和k的数值.这是解
题的关键性一步,计算方法灵活多变,没有一个固定的模式.古典概率
一种解法大体都是围绕n和k的计算而展开的.
三、几类基本问题:
抛硬币、掷骰(tóu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研
究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的
随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清
楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭
示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广
泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种
简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于
我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解
答概率题的能力.
本部分主要讨论古典概率中的五类基本问题(摸球问题、分球入盒
问题、随机取数问题、抽签问题和分组问题),给出它们的一般解法,指
出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.
例1(摸球问题)一袋中有8个大小形状相同的球,其中5个黑
色球,三个白色球。
(1)从袋中随机地取出两个球,求取出的两球都是黑色球的概率。
(2)从袋中不放回取两
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