2025北师大版步步高选择性必修第二册2.1　导数的概念.DOCX

§2导数的概念及其几何意义

2.1导数的概念

课标要求1.理解导数的概念.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3.理解导数的实际意义.

素养要求通过对导数概念的理解和利用定义求函数在某点处的导数，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.

1.思考如图，摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛.

你能求出摩托车在前3s内的平均速度和在3s时的瞬时速度吗？

提示9m/s，18m/s.

2.思考对于函数y＝f(x)＝2x2＋1，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？

提示eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝2Δx＋4x0，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数.

3.填空(1)定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为

eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)

当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值.那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率.

在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示.

(2)记法：f′(x0)＝eq\o(lim,,\s\do6(x1→x0))eq\f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)＝eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).

温馨提醒(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在.

(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.

(3)导数的实质是一个极限值.

4.做一做(1)设函数y＝f(x)可导，则eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,3Δx)等于()

A.f′(1) B.3f′(1)

C.eq\f(1,3)f′(1) D.以上都不对

(2)设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.

答案(1)A(2)2

解析(1)eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,3Δx)＝eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋3Δx）－f（1）,（1＋3Δx）－1)＝f′(1).故选A.

(2)f′(1)＝eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)

＝eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f([2（1＋Δx）＋1]－（2×1＋1）,Δx)＝2.

题型一导数的概念

例1设f(x)在x0可导，则

eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋4Δx）－f（x0）,Δx)等于()

A.－4f′(x0)B.f′(x0)

C.eq\f(1,4)f′(x0)D.4f′(x0)

答案D

解析eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋4Δx）－f（x0）,Δx)＝

4eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（x0＋4Δx）－f（x0）,4Δx)＝4f′(x0)，故选D.

思维升华利用导数定义解题时，应充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同.

训练1已知函数f(x)可导，且满足

eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（3）－f（3＋Δx）,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为()

A.－1 B.－2

C.1 D.2

答案B

解析由题意，eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（3）－f（3＋Δx）,Δx)

＝－eq\o(lim,,\s\do6(Δx→0))eq\f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝－f′(3)，

所以f′(3)＝－2.故选B.

题型二求函数在某点处的导数

例2利用导数的定义，求f(x)＝eq\r(x2＋1)在x＝1处的导数.

解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)

＝eq\r(（1＋Δx）2＋1)－eq\r(2)

＝eq\r(（Δx）2＋2Δx＋2)－eq\r(2)