高职数学课件 第3章导数应用.pptVIP

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例4铁路线上AB段的距离为100km,工厂C距A处20km,AC垂直于AB(如图).为了运输需要,要在AB线上选一点D向C修一条公路,已知每km货运铁路的运费与公路的运费之比为3:5,为了使货物从供应站B运到工厂C的费用最省,问D点应选在何处?解设AD=xkm,则不妨设每km货运铁路的运费3t,则公路的运费为.设从供应站B运到工厂C的费用为y,则由令得它是函数在区间内唯一的驻点.所以取km时,总费用最省.例5欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽为多少米时,才能使所用材料费最少?设所围矩形场地正面长为xm,另一边长为ym,则矩形场地面积为:解设四面围墙的高相同,都为h,则四面围墙所使用材料的费用f(x)为由于驻点唯一,由实际意义可知,问题的最小值存在,因此当正面长为10米,侧面长为15米时,所用材料费最少.习题3-41.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: , .(2) , .2.一块边长为30cm的正方形铁皮,在它的四角各剪去相等的一块正方形,制成一个无盖立方体容器,问应剪去多大的正方形,才能使容器的容积最大.3.某厂生产某种产品的总成本函数为 (元),其收入函数为 ,问生产多少个单位产品时才能使利润最大.4.生产某种产品的总成本函数为 ,其市场需求规律是q=75-3p(q-产量,p-价格),求使利润达到最大时的产量及最大利润.习题3-41.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: , .(2) , .2.一块边长为30cm的正方形铁皮,在它的四角各剪去相等的一块正方形,制成一个无盖立方体容器,问应剪去多大的正方形,才能使容器的容积最大.3.某厂生产某种产品的总成本函数为 (元),其收入函数为 ,问生产多少个单位产品时才能使利润最大.4.生产某种产品的总成本函数为 ,其市场需求规律是q=75-3p(q-产量,p-价格),求使利润达到最大时的产量及最大利润.3.5曲线的凸向性和拐点3.5.1曲线的凸向性3.5.2曲线的拐点对于任意的,曲线弧y=f(x)过点的切线总位于曲线弧y=f(x)的下方,则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凹的.定义1设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(2)若对于任意的,曲线弧y=f(x)过点一、曲线的凹凸性的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方,则称曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凸的.xyOABDCx1x3x4x2如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导,则可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.定理(曲线凹凸的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导.(1)若在(a,b)内,则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凹的.(2)若在(a,b)内,则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为凸的.xyOABDCx1x3x4x2判定曲线弧y=xarctanx的凹凸性.故y=xarctanx在内为凹的.例1所给曲线在内为连续曲线弧.由于解判定曲线弧的凹凸性.因此当x0时,,可知曲线弧为凸的.当x0时,,可知曲线弧为凹的.例2所给曲线在内为连续曲线弧.由于解定义连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点,称为该曲线弧的拐点.二、曲线的拐点试判定点M(0,0)是否为下列曲线弧的拐点.例3分析从而知点(0,0)为曲线弧的拐点.3.5.2曲线的拐点定义3连续曲线上,下凸、上凸的分界点称为曲线的拐点.由拐点定义知,在拐点两侧 必然异号,即在拐点x0处必有 或 不存在.下面举例说明求拐点的基本步骤.例2讨论曲线

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