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1.6函数的连续性1.6.1函数连续的概念1.6.2函数的间断点1.6.3初等函数的连续性1.6.4闭区间上连续函数的性质**1.6.1函数的连续性1．函数在一点处的连续性定义1如果自变量从初值变到终值，对应的函数值由变化到，则称为自变量的增量，记为，即．相应地称为函数的增量，记为，即由于，所以函数的增量又可以表示为注意，自变量的增量不一定是正的，也不一定是正的．定义2如果函数在点的某邻域内有定义，且有就称函数在点处连续．显然，函数在点处连续，还可以等价地表达成例1证明函数在点处是连续的．证因为，而，即，所以该函数在点处是连续的．2．函数在区间上的连续性定义3如果函数在区间内的每个点上都连续，就称函数在区间内是连续的．有时只考虑单侧连续．如果，则称函数在点处左连续．如果，则称函数在点处右连续．显然，函数在点处连续的充分必要条件是：它在点处既是左连续同时又是右连续．函数在闭区间上连续是指在区间内是连续的，且在左端点a处右连续，而在右端点b处左连续．证任取一点，因为而当时，是无穷小量，是有界变量，所以例2证明函数在其定义域内是连续的．即函数在点处是连续的．再由点的任意性可得：函数在其定义域内是连续的．同理可证函数在其定义域内是连续的．例3证明函数在其定义域内是连续的．证任取一点，因为且，所以有故函数在其定义域内是连续的．同理可以证明一般的指数函数在其定义域内是连续的．1.6.2函数的间断点从函数连续的定义可以看出，函数在点处连续，必须同时满足下列三个条件：（1）函数在点处有定义.（2）存在.（3），即当时的极限值与函数在点处的函数值相等．如果函数不能同时满足上述的三个条件，这时我们就说函数在点处是间断的，点称为间断点．例4讨论符号函数在点处的连续性．解因为所以不存在，故该函数在处是间断的(见图1-21)．从图上可以看出，当是间断点时，函数的图象在处是断开的．例5讨论函数在点处的连续性．解因为当是连续点时，函数的图象在处是接起来的．所以，故该函数在处是连续的．从图上可以看出，1.6.3连续函数的运算2．连续函数的四
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