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三棱锥外接球问题

1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。

2.等腰四面体的外接球：补成长方体

3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径

4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d，球的半径为R，截面圆（三

角形外接圆）的半径为r，则有222

Rrd

5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点

(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，

ABC是边长为的正三角形，SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为

1

2322

(A)(B)(C)(D)

6632

【解析】选A

36

ABC的外接圆的半径22

r，点到面的距离dRr

OABC

33

26

为球的直径点到面的距离为

SCOSABC2d

3

113262

此棱锥的体积为VS2d

3ABC3436

此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于

截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。

1.(2010辽宁11)已知S,A,B,C是球表面上的点，SA平面ABC，，

OABBC

，BC2，则球表面积等于选

SAAB1OA

（A）4（B）3（C）2（D）

【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松

112

22



得解。解：R1S4R4

4